Operacional

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS
Facultad de Ingeniería Civil

MÉTODOS NUMÉRICOS Y OPERACIONAL
Tarea 01

Tema del la Tarea
Aplicación de Segunda Ley de Newton

Docente:
Ing. Carlos J. Alba Mendoza

 

METODOS NUMÉRICOS Y OPERACIONAL
TAREA 01-5A
(Curso 2011-2)

ENUNCIADO ENTREGADO

Determinar la velocidad de caída libre de un cuerpo que se encuentra cerca de la tierra en función deltiempo (t), utilizando para su planteamiento la Segunda Ley de Newton, si parte de una condición de reposo inicial y:

m = masa del cuerpo = 78.10 kg
c = coeficiente de resistencia del aire = 0.25 (kg/mt)
g = aceleración de la gravedad o constante gravitacional = 9.806 m/s2
Se pide:
a) Calcular la velocidad límite de caída,
b) Tabular y comparar gráficamente los resultados de:

1.Solución Analítica o exacta,
2. Solución por aproximación utilizando la Diferencia Finita Dividida y
3. Solución utilizando el método de Euler, programado en Excel (con Visual Basic) como una función definida por el usuario.

c) ¿Influye el peso del cuerpo en la velocidad límite?. Explicar respuesta con valores y gráficamente.
d) Conclusiones

SOLUCION

M=78.10 Kg
CD=0.25 Kg/sDT=0.1 s
G= 9.806 m/s2
Recordemos que la Aceleración es la razón de cambio de la Velocidad con respecto al Tiempo, por lo que tendremos:

dv/dt=F/m

Donde la Velocidad V es medida en m/s. Si la Fuerza F es positiva, el objeto acelera, pero si la Fuerza F es negativa el objeto desacelera, si la Fuerza F = 0 la velocidad es Constante.

Sabemos que:

F=Fu+Fd
ma=Fu+Fd

Despejando “a”, ysabiendo que a=dv/dt tenemos que:

dv/dt= (Fd+Fu)/m

Pero Fu= -cv, y Fd=mg entonces:

dv/dt= (mg-cv)/m

dv/dt=g- cv/m

dv=(g-cv/m)dt

v(t)=gm/c (1-e^(-(c/m)t) ) Formula Analìtica

Para llegar a la solución numérica podemos hacer una aproximación utilizando la Diferencia Finita Dividida aplicando la ley de Newton tenemos entonces que:

dv/dt=∆v/∆t=(v(t_(i+1))-v(t_i))/(t_(i+1)-t_i )

(v(t_(i+1) )-v(t_i))/(t_(i+1)-t_i )= g-c/m v(t_i)

Reordenando la anterior ecuación tenemos:

v_(i+1)= v_i+ ( g- c/m v_i )(t_(i+1)-t_i ) Ecuacion numèrica

Código euler:

>::ve1 :=ode2('diff(y,x)= g-c*y /m,y,x) // solucion general de e.c

c x
c x ---- --- m
m g m %e
y = %e (--------- + %c)
c

>::ic1(ve1,x=0,y=0),f(x):=rhs(%) // valor inicial

c x c x
- --- ---
m m
%e (g m %e - g m)y = -------------------------
c


c x c x
- --- ---
m m
%e (g m %e - g m)
f(x) := -------------------------
c>g:=9.8066; m:=78.10; c:=0.25;
>plot2d("::f(x)", a=0, b=40, title="velocidad vs tiempo")
0 40 0 368.189446665
>vli:=(g*m/c)
3063.58184
>
3063.58184
>

Velocidad Límite: 30.792724
Ec. Numérica: vi+1 = vi+[g-c*vi/m]*[ti+1 - ti]

Ec. Analítica: vt = (m*g/c)*[1-e-(c/m)*t]

Ec. Euler: vE = Euler(dt,B17,B18,E17,m,cd)

intervalo analitica numerica euler
0 0 0 0
214,50623688 19,6132 19,6132
4 22,17868703 26,7339159 32,9984
6 26,23669959 29,319144 42,1332
8 28,38301082 30,25773 48,3674
10 29,51820984 30,5984905 52,6219
12 30,11862455 30,7222061 55,5255
14 30,43618808 30,767122 57,507
16 30,60414966 30,783429 58,8594
18 30,69298571 30,7893494 59,7823
20 30,73997172 30,7914988 60,4121
22 30,76482295 30,7922792 60,8419
24 30,77796694 30,7925625 61,1353...