Operaciones binarias

Operaciones binarias
En primer lugar introducimos el concepto de operación binaria, tanto interna como externa, si bien nos centraremos en el primer caso, puesto que el ejemplo más interesante deoperación externa tiene que ver con espacios vectoriales, que se estudiarán con detalle en la correspondiente asignatura del Plan de Estudios (Álgebra Lineal).
Definición 1.1   
i)
Una operacióninterna `' en un conjunto  es una aplicación

ii)
Una operación externa `' en  con operadores en  (por la izquierda) es una aplicación

En lo que sigue supondremos que `' es una operación internaen . En ese caso, un subconjunto  se dice que es cerrado con respecto a dicha operación si se verifica que

es decir, al hacer operaciones con elementos de  no nos salimos del conjunto . Por otra parte,una operación interna puede cumplir o no (entre otras) las siguientes propiedades:
Asociativa:
, .
Conmutativa:
, .
Elemento Neutro:
, .
Elemento Inverso:
Suponiendo que existe elementoneutro , entonces se dice que un elemento  tiene inverso (u opuesto) si

Distributiva:
Dadas dos operaciones internas `' y `' en , se dice que `' es distributiva respecto de `' si

Otras:
no se veráncon mucho detalle, pues tienen que ver principalmente con Retículos y Álgebras de Boole, que es un tema muy específico de Informática.
Hacemos notar que el elemento neutro, en caso de existir, esúnico, y lo mismo ocurre con el elemento inverso  de un elemento dado .

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Estructura algebraica
Artículo principal: Estructura algebraica
Enmatemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operacionesque se puedenrealizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna...