Operaciones Con Funciones y Funcion Inversa

UNIDAD III OPERACIONES CON FUNCIONES

Álgebra de las funciones

Operaciones con funciones
Función Suma
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada
por
( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

Ejemplo 1 Si f (x) = 2x + 1 y h (x) = |x| entonces:

( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1

( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7

1




UNIDAD IIIOPERACIONES CON FUNCIONES

Función Diferencia
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia
esta dada por
( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)
Ejemplo 2: Si f (x) = 2x + 1, g (x) = x2 entonces:

( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x2 = 1 + 2x - x2

( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)2 = -2 + 1 - 1 = - 2

Función Producto
Si f(x) y g(x) son dosfunciones, entonces la función producto
esta dada por
( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

2



Ejemplo 3 Si g (x) = x2 y

h (x) = x – 2 entonces:

( h • g )(x) = h (x) • g (x) = ( x - 2 ) x2 = x3 – 2x2
( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )2 = 3 (25) = 75

Función Cociente
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta
dada po

Ejemplo 4 Si f (x) = 2x +1, g (x) = x 2 entonces:

1.

3


Composición de Funciones

( Funciones

compuestas )
Sean f(x) y g(x) dos funciones con sus respectivos dominios Df y
Dg

,

entonces la función f(x) compuesta con g(x) es dada por:

Ejemplo

Sea

, entonces:

4
UNIDAD III OPERACIONES CON FUNCIONES

La composición de funcionesl: Función compuesta
Dadas las funciones f: A → B y g: B →C, (o sea, donde la imagen de f
está contenida en el dominio de g), se define una función composición
(g ο f ): A → C tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x
de A .

La función identidad
Dado un conjunto

, la función

que asigna a cada x de

el

mismo x de A, se denomina función identidad. También se simboliza
por 1A o idA.
Dada cualquier función

, se cumpleque

igual a f y que
tenemos

que

es también igual a
para

todo

es
, puesto que
y

Se verifica que

6

también


la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.



la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.



la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.

La restricción de una función
Sea C un subconjunto de A. Lainclusión de C en A permite definir una
función de C en A que asigna a cada elemento de C el mismo
elemento, pero considerado como elemento de A. Decimos que tal
función es la función definida por la inclusión.
Sea

y sea

un subconjunto de

por la inclusión. La composición

. Sea i la función definida

define una función de

se llama la restricción de f a C y que se denota por

enque

.

Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas,
se usa la misma notación para la función y su restricción, esperando
que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Función inversa
Dada una función
una función

, se llama una (función) inversa de
tal que se cumple las siguientes condiciones:

7

,a

.
Decimos también que la función f es invertibleCuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función
es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por

.

Se verifica también las siguientes propiedades.


Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.



La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la
función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.



La composición dedos funciones invertibles es invertible, y su
inversa es la composición de las inversas de los factores pero
con el orden invertido.
.

El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas
Sea A un conjunto y Biy(A) el conjunto formado por todas las
funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío,
porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además,...