Operaciones Con Intervalos

Operaciones con intervalos
Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos. 
Debido a su gran utilidad en este Capítulo, las operaciones que nos interesa definir aquí son: laintersección, la unión y la diferencia de conjuntos.

   | Definición |
  | Sean  y  conjuntos. Se define la intersección de  y  y se denota , al conjunto cuyos elementos pertenecen a  y también a .Simbólicamente se tiene que:   |
|
Ejemplo 
Si  y . Determine 
Solución 
Los elementos que están en  y también en  son: 4 y 5. 
Por lo tanto: 

Ejemplo 

Si  y .  Determine  
Solución Geométricamente podemos representar los conjuntos  y  de la manera siguiente:
 

De aquí podemos observar que los elementos que están en  y también en  son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:

Ejemplo 
Si  y Determine  
Solución  
Geométricamente podemos representar a los conjuntos  y  de la siguiente manera:

De aquí observamos que los únicos elementos queestán en  y también en  son -2 y 3; por lo que: 

Ejemplo 

Si  y .Determine  
Solución  
 

Como podemos observar  y  no tienen elementos comunes por lo que: 

Ejercicio 

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto . 
1. ;  
2. ;  
3. ;  
4. ;  
 
   | Definición |
  | Sean  y  y conjuntos. Se define la unión de  y  y se denota , al conjunto cuyoselementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos  y . 
Simbólicamente se tiene que:  |
|
Ejemplo 
Si  y . Determine  
Solución 
 
Ejemplo 
Si  y .Determine  
Solución 
Representaremos a  y a  geométricamente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en  o en , son los números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así: 

Ejemplo 
Si  y . Determine  Solución 
Representaremos a  y a  geométricamente:

 
De aquí observamos que:  
Ejemplo 
Si  y . Determine  
Solución 
Representemos a  y a  geométricamente:

De aquí observamos que:  
Ejemplo   
Si  y . Determine  
Solución
Representaremos a  y a  geométricamente:
 

 
De aquí observamos que:  
Geométricamente podemos representar  así:
 

 
Ejercicios  
Para cada uno delos casos siguientes determine el conjunto  y represente geométricamente los conjuntos A, B y .
1.   
2.   
3.   
4.   
5.   
6.   
   | Definición |
  | Sean  y  conjuntos. Se define la diferencia de  y  y se denota, al conjunto cuyos elementos pertenecen a  y no a . |
 
Ejemplo   
Si  y . Determine  y  

Solución
i. Los elementos que pertenecen a A y no pertenecena B son ; por lo que 
ii. Los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A son ; por lo que 
Ejemplo  
Si  y , determine  

Solución
 o sea:  
Ejemplo   
Si  y , determine  y  

Solución
Representemos a  y a  geométricamente.
 

 
De aquí podemos observar que:

i.  
 
ii. ; o sea:  
Ejercicios  
Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto  y .
1. ;  2. ;  
3. ;  
4. ;  
5. ;  

Inecuaciones
   | Definición |
  | Sean  y  representan expresiones algebraicas en el conjunto de los números reales entonces expresiones como: , ,  y  reciben el nombre de desigualdades o inecuaciones  y se dice que a y b son los miembros de la desigualdad. |

Ejemplos
a.
 
b.
 
c.
 
d.
 
e.
 
f.
 
| Definición |
| Unadesigualdad entre dos expresiones algebraica donde al menos una de ellas involucra variables, recibe el nombre de inecuación. |
 

Ejemplos
a.
 
b.
 
c.
 
d.
 
e.
 
d.
 
   | Definición |
| En una inecuación las variables involucradas reciben el nombre de incógnitas |
   | Definición |
  | Si la inecuación involucra n variables, se dice que es una inecuación con n incógnita. A...