operaciones de matrices
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Publicado: 8 de abril de 2013
Operaciones en renglones de matrices
Hay 3 operaciones básicas usadas en los renglones de una matriz cuando está usando la matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El objetivo usualmente es conseguir que la parte izquierda de la matriz se parezca a la matriz identidad.
Las tres operaciones son:
Cambiar renglones
Multiplicar un renglón por un número
Sumar renglones
Cambio derenglones
Puede cambiar los renglones de una matriz para obtener una matriz nueva.
En el ejemplo anterior mostrado, movimos el Renglón 1 al Renglón 2, el Renglón 2 al Renglón 3, y el Renglón 3 al Renglón 1. (La razón para hacer esto es conseguir que el 1 esté en la esquina superior izquierda.)
Multiplicar un renglón por un número
Puede multiplicar cualquier renglón por un número. (Estosignifica multiplicar cada entrada en el renglón por el mismo número.)
En este ejemplo, hemos multiplicado el Renglón 3 de la matriz por 1/3. (Esto nos arroja el 1 que necesitamos en el Renglón 3, Columna 3.)
Sumar renglones
También puede sumar dos renglones juntos, y reemplazar un renglón con el resultado.
Por ejemplo, en la matriz que resultó del último ejemplo, podemos sumar los renglones 2 y3 juntos, entrada por entrada:
Luego, reemplazamos el Renglón 2 con el resultado.
Sumando múltiplos de renglones
Dijimos que únicamente hay tres operaciones, y así es. Pero usando la combinación de las dos últimas operaciones, podemos sumar múltiplos enteros de renglones a otros renglones, para hacer que las cosas vayan más rápido.
Retrocediendo un paso, tenemos la matriz:
Ahora enlugar de solo sumar el Renglón 2 + Renglón 3, sume el Renglón 2 + (2 × Renglón 3):
Luego reemplace el Renglón 2 con el resultado.
De esta forma, obtenemos un 0 en el Renglón 2, Columna 3.
Podemos hacer esto nuevamente para tener un 0 en el Renglón 2, Columna 1. Aquí, multiplicamos el Renglón 1 por –2, sumamos al Renglón 2, y reemplazamos el Renglón 2 con el resultado.
Mostraremos unos pocospasos más, para obtener la matriz identidad 3 × 3 en la izquierda (y así resolver el sistema).
El paso siguientes es sumar el Renglón 2 + (4 × Renglón 3) para tener un 0 en el Renglón 2, Columna 3.
Enseguida, necesitamos un cero en el Renglón 1, Columna 3.
El último paso es solo una aplicación de la segunda operación, multiplicar un renglón por un número.
Ahora tenemos la solución comouna ordenada triple (1, 0, –2).
Nota importante: Si las ecuaciones representadas por su matriz original representan líneas idénticas o paralelas, no podrá obtener una matriz identidad usando estas operaciones de renglones. En este caso, la solución o no existe o hay infinitamente muchas soluciones al sistema.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz A(n,n), es unescalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.
(Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.)
A continuación vamos a ver una de las formas de obtener eldeterminante (método cofactores).
Algoritmo:
siendo n igual al nú:mero de columnas, y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.
Ejemplo de un determinante de segundo orden:
Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos :
paso 1: a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos|4|, mientras en la suma i+j=2.
paso 2: a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado |6| y la suma i+j=3.
es decir ...
Si la matriz fuese del tipo:
el determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento:
después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando ...
y por tanto ...
|A| =...
Hay 3 operaciones básicas usadas en los renglones de una matriz cuando está usando la matriz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El objetivo usualmente es conseguir que la parte izquierda de la matriz se parezca a la matriz identidad.
Las tres operaciones son:
Cambiar renglones
Multiplicar un renglón por un número
Sumar renglones
Cambio derenglones
Puede cambiar los renglones de una matriz para obtener una matriz nueva.
En el ejemplo anterior mostrado, movimos el Renglón 1 al Renglón 2, el Renglón 2 al Renglón 3, y el Renglón 3 al Renglón 1. (La razón para hacer esto es conseguir que el 1 esté en la esquina superior izquierda.)
Multiplicar un renglón por un número
Puede multiplicar cualquier renglón por un número. (Estosignifica multiplicar cada entrada en el renglón por el mismo número.)
En este ejemplo, hemos multiplicado el Renglón 3 de la matriz por 1/3. (Esto nos arroja el 1 que necesitamos en el Renglón 3, Columna 3.)
Sumar renglones
También puede sumar dos renglones juntos, y reemplazar un renglón con el resultado.
Por ejemplo, en la matriz que resultó del último ejemplo, podemos sumar los renglones 2 y3 juntos, entrada por entrada:
Luego, reemplazamos el Renglón 2 con el resultado.
Sumando múltiplos de renglones
Dijimos que únicamente hay tres operaciones, y así es. Pero usando la combinación de las dos últimas operaciones, podemos sumar múltiplos enteros de renglones a otros renglones, para hacer que las cosas vayan más rápido.
Retrocediendo un paso, tenemos la matriz:
Ahora enlugar de solo sumar el Renglón 2 + Renglón 3, sume el Renglón 2 + (2 × Renglón 3):
Luego reemplace el Renglón 2 con el resultado.
De esta forma, obtenemos un 0 en el Renglón 2, Columna 3.
Podemos hacer esto nuevamente para tener un 0 en el Renglón 2, Columna 1. Aquí, multiplicamos el Renglón 1 por –2, sumamos al Renglón 2, y reemplazamos el Renglón 2 con el resultado.
Mostraremos unos pocospasos más, para obtener la matriz identidad 3 × 3 en la izquierda (y así resolver el sistema).
El paso siguientes es sumar el Renglón 2 + (4 × Renglón 3) para tener un 0 en el Renglón 2, Columna 3.
Enseguida, necesitamos un cero en el Renglón 1, Columna 3.
El último paso es solo una aplicación de la segunda operación, multiplicar un renglón por un número.
Ahora tenemos la solución comouna ordenada triple (1, 0, –2).
Nota importante: Si las ecuaciones representadas por su matriz original representan líneas idénticas o paralelas, no podrá obtener una matriz identidad usando estas operaciones de renglones. En este caso, la solución o no existe o hay infinitamente muchas soluciones al sistema.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz A(n,n), es unescalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.
(Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.)
A continuación vamos a ver una de las formas de obtener eldeterminante (método cofactores).
Algoritmo:
siendo n igual al nú:mero de columnas, y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.
Ejemplo de un determinante de segundo orden:
Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos :
paso 1: a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos|4|, mientras en la suma i+j=2.
paso 2: a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado |6| y la suma i+j=3.
es decir ...
Si la matriz fuese del tipo:
el determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento:
después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando ...
y por tanto ...
|A| =...
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