Operaciones de vectores analíticamente

Curso de Física Básica
Operaciones de vectores analíticamente
I.

Suma o resta de vectores por el método analítico.

 Caso 1.- Suma de vectores colineales que tienen la misma
dirección y sentido
Cuando dos o más vectores colineales que se van a sumar
tienen la misma dirección y sentido, la magnitud del vector
resultante es igual a la suma algebraica de las magnitudes de
cada uno de ellos y sudirección es la misma que la de los
vectores involucrados.
Fr = F1 + F2
⃗⃗ = (3m, 0⁰, +)
Ejemplo: Sean dos vectores 𝐴⃗ = (5m, 0⁰, +) y 𝐵
⃗⃗ = (8m, 0⁰, +)
la suma será 𝐴⃗ + 𝐵
 Caso 2.- Suma de vectores colineales
contrario

que tienen la misma dirección pero sentido

Cuando se suman dos vectores colineales que tienen la
misma dirección pero sentido contrario, la magnitud del
vector resultante es elvalor absoluto de la diferencia de las
magnitudes, y la dirección y sentido son las que
corresponden al vector de mayor magnitud.
Fr = |F1 – F2|
⃗⃗ = (4 km
Ejemplo: Sean dos vectores 𝐴⃗ = (6 km al norte) y 𝐵
⃗⃗ = (2 km al norte)
al sur) la suma será
𝐴⃗ + 𝐵
 Caso 3.- Suma de vectores cuyas líneas de acción son
perpendiculares entre sí.
Cuando se suman dos vectores cuyas líneas de acción sonperpendiculares entre sí, estos, junto con el vector
resultante, forman un triángulo rectángulo, donde la
magnitud de la resultante se determina por medio del
teorema de Pitágoras.
Fr = √F12 +F22
El ángulo entre la resultante y el vector de la horizontal se
obtiene mediante la razón trigonométrica

Ө

𝑊

Ө = Tang⁻¹ ( 𝑉 )
Quím. Oscar H. Castañeda B.

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⃗⃗⃗⃗ = (40 N, 90⁰,Ejemplo: Determina las características del vector resultante de la suma de 𝑊
⃗⃗ = (30 N, 0⁰, +)
⃗⃗⃗⃗ + 𝑉
⃗⃗
+) y 𝑉
𝑅⃗⃗= 𝑊
Magnitud:
|R| = 50 N

|R²| = |W²| + |V²| = (40 N)² + (30 N)²
𝑊

40

Dirección: Ө = Tang⁻¹ ( 𝑉 ) = Tang⁻¹ (30)
Ө = 53.13⁰

 Caso 4.- Suma de dos vectores que no son colineales ni perpendiculares entre si
Cuando se suman dos vectores angulares no perpendiculares, la resultante sepuede
obtener de dos formas que son:
1. Por el método de la ley del coseno ( a2 = b2 + c2 – 2bc cos α)
y su dirección por medio de la ley del seno (
=

𝑠𝑒𝑛 𝛾
)
𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎

=

𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏

Ejemplo: Un avión vuela 400 km hacia el este, luego cambia de
ruta y vuela 500 km a 60⁰ al norte del este. Determina las
características del desplazamiento resultante.
ӨR

α

De acuerdo a la ley de cosenos y con eltriángulo de la figura
R² = (400 𝑘𝑚)² + (500 𝑘𝑚)² − 2(400) (500) cos α
Donde α = 180⁰−60⁰ = 120⁰
R = 781 Km
Aplicando la ley de seno
𝑠𝑒𝑛 Ө𝑟 𝑠𝑒𝑛 120°
= 781
500
ӨR = 33.7⁰

2. Suma de vectores por el método de los componentes:
 Para la obtención de las componentes de un vector, en
forma analítica, observamos que se forma un triángulo
rectángulo al proyectar una línea hacia el eje de las X y
otro alproyectar la línea al eje de las Y.
Trabajando en el triángulo rectángulo formado, las
componentes perpendiculares del vector 𝐴⃗ serán:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑥 → Que corresponde al cateto adyacente y
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑦 → Que corresponde al cateto opuesto
Quím. Oscar H. Castañeda B.

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Conociendo la magnitud del vector, la cual corresponde a la hipotenusa de nuestro
triángulo, y además ladirección del vector, que corresponde al ángulo que forma la
hipotenusa con el cateto adyacente y mediante las funciones trigonométricas
correspondientes podemos obtener las componentes del vector es decir:



Sen Ө =

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Cos Ө =

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑦

= |𝐴|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑥

= |𝐴|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |A| Sen Ө
∴ 𝐴𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |A| Cos Ө
∴ 𝐴𝑥

Para La suma de dos o másvectores por el método de componentes, donde la
componente X de la resultante es la suma de las componentes X de cada vector; así
mismo, la componente Y de la resultante, es la suma de las componentes Y de cada vector
es decir:
⃗⃗ y 𝐶⃗
Sean los vectores 𝐴⃗ , 𝐵
⃗⃗ + ⃗𝐵⃗ + 𝐶
⃗⃗ = (Ax + Ay) + (Bx + By) + (Cx + Cy)
𝑅⃗⃗ = 𝐴
Si 𝑅⃗⃗ = Rx + Ry
∴ Rx = Ax + Bx + Cx y Ry = Ay + By + Cy

Ejemplo:
Tres sogas...