Operaciones en tre conjuntos

Universidad Andr´s Bello e Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ingenieria Algebra I FMM-009 Ayudante: Francois Moraga

Ejercicios Resueltos Conjuntos 2do Semestre 2008

Problema 1 Problema1.a Soluci´n o

Sabiendo que A, B, C ⊆ U demostrar que: (A ∪ B) ∩ (A ∪ B c ) ≡ A

Utilizando propiedades de conjuntos, tenemos que: (A ∪ B) ∩ (A ∪ B c ) A ∪ (B ∩ B c ) A∪Ø A ≡ ≡ ≡ ≡ A A/Distributividad A /Ley de Complementaci´n o A /Ley de Identidad

Problema 1.b

(A ∪ B) ∪ (Ac ∩ B c ) ≡ U

Soluci´n Utilizando propiedades de conjuntos, tenemos que: o (A ∪ B) ∪ (Ac ∩ B c ) ≡ U (A ∪ B) ∪(A ∪ B)c ≡ U U ≡ U Problema 1.c / /Ley de Morgan /Ley de complementaci´n o

(A − B) − C ≡ (A − C) − B

Soluci´n Utilizando propiedades, tenemos que: o (A − B) − C (A ∩ B c ) ∩ C c (A ∩ C c ) ∩ B c(A − C) − B ≡ ≡ ≡ ≡ (A − C) − B (A − C) − B /Diferencia de conjuntos (A − C) − B /Asociatividad, conmutatividad (A − C) − B /Diferencia de conjuntos

Problema 1.d Soluci´n o

A − (B − C) ≡ A ∩(B c ∪ C)

Utilizando propiedades, tenemos que: A − (B − C) ≡ A ∩ (B c ∪ C) c )c ≡ A ∩ (B c ∪ C) /Diferencia A ∩ (B ∩ C A ∩ (B c ∪ C) ≡ A ∩ (B c ∪ C) /Ley de morgan

Problema 1.e Soluci´n o

C ∪{[A − (B ∩ C)] − [(B ∩ C) − A]} ≡ A ∪ C

Por propiedades de conjuntos, tenemos que: ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ A A A A A A A A ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ C C C C C C C C

C ∪ {[A − (B ∩ C)] − [(B ∩ C) − A]} C ∪ {[A ∩(B ∩ C)c ] ∩ [(B ∩ C) ∩ Ac ]c } C ∪ {[A ∩ (B ∩ C)c ] ∩ [(B ∩ C)c ∪ A]} C ∪ {A ∩ [(B ∩ C)c ∩ ((B ∩ C)c ∪ A)]} C ∪ {A ∩ (B ∩ C)c } (C ∪ A) ∩ (C ∪ (B c ∪ C c )) (C ∪ A) ∩ (U ) (C ∪ A)

/Diferencia /Leyde Morgan /Asociatividad /Absorci´n o /Distributividad /Complementaci´n o /Identidad

Problema 2

Si B − A = Ø demuestre utilizando algebra de conjuntos que: [(A − C)c − (B ∪ C)c ] ∩ [A ∪ (C −B)] ≡ C

Soluci´n o

Observese que si B − A = Ø, entonces B c ∪ A = U . Luego, ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ C C C C C C C

[(A − C)c − (B ∪ C)c ] ∩ [A ∪ (C − B)] [(A ∩ C c )c ∩ (B ∪ C)] ∩ [A ∪ (C ∩ B c )] [(Ac...