Operaciones Financieras

Economía Financiera y Contabilidad Introducción a las Operaciones Financieras
Tema 3: Capitalización compuesta. LEYES FINANCIERAS CLASICAS DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO COMPUESTO1.
1. Capitalización compuesta.
Cuando un capital para el calculo de otro financieramente equivalente, le aplicamos la ley financiera de interés compuesto, hablaremos de operación financiera de capitalizacióncompuesta.
En capitalización compuesta, los intereses producidos de cada periodo se agregan al capital para el cálculo de interés del siguiente periodo.
Los elementos que intervienes son:
• Co: capital inicial.
• n: duración de la operación.
• i: tiempo de interés anual en tanto por uno.
• Cs: Montante del año S.
• Is: Intereses del año S.
• IT: interes total.
• Cn: Capital final o montante.
2.Calculo del capital final o montante.
Sabiendo que el interés del primer periodo es I1 = Co.i, y que el montante del primer año C1 =Co +I1,nosdaque:
C1 = Co + Co.i 􏰀
Igualmente, para el año 2, seguimos en la misma estrategia:
I2 =C1.i C2 =C1 +C1.i=C1 (1+i)=C0 (1+i)(1+i);porlotanto: C2 =C1 +I2
De forma recurrente para el año “n”:
n
La expresión (1 + i) la denominamos factor decapitalización compuesta.
Gráficamente:
3. Calculo de los intereses totales
IT =Cn –C0􏰀C0(1+i)n –C0􏰀 4. Calculo del capital inicial
Partiendo de la fórmula del montante y despejando C0:
1
Is = Cs-1.i
IT =I1 +I2 +I3 +.....+In
C1 =Co (1+i)
C2 = C0 (1+i)
2
Cn =C0 (1+i)
n
I =C [(1+i)n −1] T0
MATEMÁTICAS FIANNCIERAS. Gómez, J, Jiménez, M., Jiménez, J.A., y González, G.. Editorial Mc. Graw-Hill
1/7n Cn=C0(1+i) ;
ó
A la expresión (1 + i) Podemos decir también que:
5. Calculo del interés.
Partiendo de Cn = C0(1 +i)
n
C0 
C= 0
Cn (1+i)n
-n
C0 =Cn -IT
C0 =Cn (1+i)
-n
le llamamos factor de actualización compuesta.
C C 1/n n =n(1+i)n⇒n
=(1+i)
Cn/Co=(1+i)n;n
Por tanto nos queda que:
6. Calculo del tiempo.
Co
i=n
C
 n−1
C0 
1
C n i= n  −1
C0
nPartiendo de Cn = C0(1 + i) deducimos que:
n logCn =logCo (1+i) ;
n logCn =logCo +log(1+i) ;
n
logCn –logCo =log(1+i) =n.log(1+i) ;
7. Equivalencia de tantos.
n=logCn −logCo log(1+i)
Tantos equivalentes son aquellos que aplicados a un capital producen idénticos montantes durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se refieran a periodos de capitalización distintos. Siendo:
• i 􏰀 tipo de interésanual (tanto anual efectivo).
• im 􏰀tipo de interés fraccionado.
• m 􏰀 frecuencia de capitalización (no de veces que esta incluido el tiempo del tanto
fraccionado en el anual).
• Jm 􏰀 tanto proporcional anual (es el resultado de multiplicar m por im). Jm = m . im. Se le
denomina tanto nominal. (No es un tanto real).También se le denomina “tanto convertible”, “acumulable” o “capitalizable mveces del año”.
Si invertimos una unidad monetaria a un tanto i, durante un año, obtenemos el siguiente montante: (1 + i).
Si invertimos una u.m el mismo periodo, es decir, un año, pero con frecuencia de capitalización
m “m” al tanto “im”, el montante resultante será (1 + im) .
Igualamos ambos montantes y de ahí despejamos i para el cálculo del tipo de interés anual:
(1+i)=(1+i )m m
Por lotanto i será:
Cuando pretendemos calcular im:
m(1+i)=m(1+i )m m
(1+i)1/m =(1+i )m/m =1+i mm
m i=(1+im) -1

i =(1+i)1/m −1 m
8. Comparación entre capitalización simple y compuesta.
Siendo el montante por capitalización simple y compuesta respectivamente de la forma siguiente:
n
Cn =Co(1+n.i) y Cn =Co(1+i) La diferencia se manifiesta en los factores de capitalización.
Dando valores a ambasexpresiones coincide para valores n = 0 y n = 1 􏰀 n
(1 + n.i) = (1 + i) , siendo diferentes para el resto de los valores, y cumpliéndose además que:
∀ 0 < n < 1 → (1 + n i ) > (1 + i ) n ∀ n > 1 → (1 + n i ) < (1 + i ) n
Gráficamente:
En las operaciones inferiores al año se suele aplicar la capitalización simple y en las superiores al año la compuesta.
9. Capitalización en el tiempo...