Operaciones

´ INTRODUCCION A LA GEOMETR´ DIFERENCIAL IA
Dispone de un paquete de Mathematica para calcular m´tricas, e s´ ımbolos de Christoffel, geod´sicas y curvatura seccional e

´ Luis Javier HERNANDEZ PARICIO

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Apuntes de Geometr´ Diferencial ıa

´ Indice general
´ INTRODUCCION 1. Breves comentarios hist´ricos o 2. Objetivos 3. Requisitos Cap´ ıtulo 1. PRELIMINARES 1. Nociones y notacionesasociadas a funciones 2. Topolog´ ıa 2.1. Espacios topol´gicos y funciones continuas o 2.2. Base de una topolog´ ıa 2.3. Propiedades topol´gicas o 2.4. Construcciones 2.5. Algunos espacios ´ 3. Algebra lineal 4. An´lisis matem´tico a a Problemas Cap´ ıtulo 2. VARIEDADES DIFERENCIABLES 1. La noci´n de variedad diferenciable o Problemas 2. La topolog´ de una variedad diferenciable ıa 2.1.Introducci´n de la topolog´ mediante la relaci´n de o ıa o compatibilidad 2.2. Introducci´n de la topolog´ mediante atlas maximales o ıa 2.3. Propiedades de la topolog´ inducida por la estructura ıa diferenciable 3. Algunas propiedades de funciones diferenciables Problemas 4. Ejemplos de variedades diferenciables Problemas 5. El conjunto de ceros de una funci´n con valores reales o Problemas 6. Propiedadesb´sicas de la topolog´ de una variedad a ıa Problemas 7. Miscel´nea a Cap´ ıtulo 3. ESPACIO TANGENTE 1. Notaciones previas
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1 1 5 6 9 9 10 10 11 12 12 13 14 17 20 23 23 26 29 29 30 32 33 33 34 38 39 40 45 46 48 51 51

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´ Indice general

Problemas 2. Derivadas parciales. Propiedades Problemas 3. Vectores tangentes Problemas 4. Aplicaci´n tangente o Problemas Cap´ ıtulo 4.SUBVARIEDADES Y VARIEDADES COCIENTE 1. Inmersiones Problemas 2. Submersiones Problemas 3. Las fibras de una submersi´n o Problemas Cap´ ıtulo 5. GRUPOS DE TRANSFORMACIONES 1. Grupos discontinuos y variedades recubridoras Problemas 2. Sistemas din´micos a Problemas 3. Grupos de Lie Problemas 4. Encajes de la botella de Klein y del plano proyectivo real Cap´ ıtulo 6. CAMPOS Y FORMAS 1. Fibrado tangente ycotangente Problemas 2. Definici´n y propiedades de campos y formas o Problemas 3. Variedades paralelizables Problemas 4. Variedades orientables Problemas 5. Curvas integrales Problemas

52 53 53 54 56 57 60 63 63 65 70 72 73 74 85 85 88 91 94 95 99 99 101 101 102 103 109 111 111 112 116 116 118

Cap´ ıtulo 7. VARIEDADES Y CONEXIONES RIEMANNIANAS125 1. Conexiones y derivada covariante 125Problemas 130 2. Variedades riemannianas 131 Problemas 133 3. Longitudes de curvas y vol´menes u 137 Problemas 138 4. Conexiones riemannianas 138 Problemas 142 5. Curvatura 146

´ Indice general

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Problemas 6. Miscel´nea a Cap´ ıtulo 8. EL PAQUETE RIEMANNIAN GEOMETRY 1. El paquete RiemannianGeometry 1.1. Introducci´n o 1.2. Algunas pseudom´tricas m´s frecuentes e a 1.3. Pseudo-m´trica inducidapor una inmersi´n e o 1.4. S´ ımbolos de Christoffel y ecuaciones de las geod´sicas e 1.5. Tensor de curvatura y Curvatura Seccional 1.6. Coeficientes geom´tricos inducidos por una inmersi´n e o 1.7. Ejemplos 2. Integraci´n num´rica de las geod´sicas o e e 3. Algunas aplicaciones inform´ticas para la geometr´ a ıa 4. Otros enlaces interesantes ´ Indice alfab´tico e Bibliograf´ ıa

151 153 157 157157 158 158 159 160 161 163 166 168 169 171 175

´ INTRODUCCION
´ Estos son unos apuntes sobre t´cnicas b´sicas de Geometr´ Difee a ıa rencial. Incluyen las nociones que hemos considerado m´s importana tes acompa˜adas de algunos ejemplos y problemas que creemos que n adem´s de facilitar la comprensi´n de los conceptos resaltan aquellos a o aspectos m´s interesantes. Se abordan pausadamentealgunos resultaa dos elementales, aunque no por ello se deja de hacer referencia a otros teoremas m´s importantes incluyendo bibliograf´ adecuada para su esa ıa tudio. Intentamos que el lector asimile bien las primeras nociones y sus propiedades y adem´s hemos seleccionado unos contenidos que puedan a presentarse y estudiarse en un periodo breve de tiempo. La Geometr´ Diferencial es una t´cnica que,...