oPERADOR DERIVADA

Propiedades y Aplicaciones del
operador Derivada a las
Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
M EN

I NG . J OEL G OMEZ
´
I J ES US E DMUNDO RUIZ M EDINA
Divisi´ n de Ciencias B´ sicas
o
a
Facultad de Ingenier´a
ı
UNAM

Operador Derivada– p. 1/12

P ROPIEDADES
•

DEL

O PERADOR D ERIVADA

Primera propiedad
P (D)e±αx = P (±α)e±αx

Operador Derivada– p. 2/12

PROPIEDADES

DEL

O PERADOR D ERIVADA

•

Primera propiedad

•

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
Segunda propiedad
D2 cos(αx) = −α2 cos(αx)
D2 sen(αx) = −α2 sen(αx)

Operador Derivada– p. 2/12

P ROPIEDADES

DEL

O PERADOR D ERIVADA

•

Primera propiedad

•

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
Segunda propiedad

•

D2 cos(αx) = −α2 cos(αx)
D2 sen(αx) = −α2 sen(αx)
Tercera propiedad
P(D)e±αx f (x) = e±αx P (D ± α)f (x)

Operador Derivada– p. 2/12

P ROPIEDADES

DEL

O PERADOR D ERIVADA

•

Primera propiedad

•

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
Segunda propiedad

•

D2 cos(αx) = −α2 cos(αx)
D2 sen(αx) = −α2 sen(αx)
Tercera propiedad

•

P (D)e±αx f (x) = e±αx P (D ± α)f (x)
Cuarta propiedad
P (D)xn f (x) = (x +

d n
dD ) P (D)f (x)
Operador Derivada– p. 2/12Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx

Operador Derivada– p. 3/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t

Operador Derivada– p. 3/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t

OperadorDerivada– p. 3/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t
yp = Ae4t

Operador Derivada– p. 3/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t
yp = Ae4t
(D 2 + 5D + 6)Ae4t = 8e4t

Operador Derivada– p. 3/12Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t
yp = Ae4t
(D 2 + 5D + 6)Ae4t = 8e4t
((4)2 + 5(4) + 6)Ae4t = 8e4t

Operador Derivada– p. 3/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t
yp = Ae4t
(D 2 + 5D + 6)Ae4t =8e4t
((4)2 + 5(4) + 6)Ae4t = 8e4t

por lo tanto

A=

8
42
Operador Derivada– p. 3/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx

Operador Derivada– p. 4/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t

Operador Derivada– p. 4/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERAPROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t

Operador Derivada– p. 4/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t
(D2 + 5D + 6)yp = 8e4t

Operador Derivada– p. 4/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y +5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t
(D2 + 5D + 6)yp = 8e4t
1
8e4t
yp =
(D 2 + 5D + 6)

Operador Derivada– p. 4/12

Ejemplos de Aplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t
(D2 + 5D + 6)yp = 8e4t
1
8e4t
yp =
(D 2 + 5D + 6)
yp =

1
8e4t
(4)2 + 5(4) + 6
Operador Derivada– p. 4/12

Ejemplos deAplicación
•

P RIMERA

PROPIEDAD

P (D)e±αx = P (±α)e±αx
′′

′

y + 5y + 6y = 8e4t
yh = C1 e−3t + C2 e−2t
(D2 + 5D + 6)yp = 8e4t
1
8e4t
yp =
(D 2 + 5D + 6)
yp =

1
8e4t
(4)2 + 5(4) + 6

por lo tanto

8 4t
yp =
e
42

Operador Derivada– p. 4/12

Ejemplos de Aplicación
•

S EGUNDA

PROPIEDAD
D 2 cos(αx) = −α2 cos(αx)
D 2 sen(αx) = −α2 sen(αx)

Operador...