OPERADORES DIFERENCIALES

OPERADORES DIFERENCIALES
OPERADOR NABLA
 Un operador vectorial sumamente útil es diversas disciplinas el operador nabla, definido como:
 


este operador puede operar sobre funciones escalareso funciones vectoriales
Si actúa sobre una función escalar tendremos:
  
donde

Esta última operación es más conocida como el gradiente de una función, la cuál también puede ser expresado enotras coordenadas:
 

 
 
Gradiente de un campo escalar
Sea f:U⊆R3⟶R un campo escalar, y sean ∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z las derivadas parciales de f (es decir, derivar respecto a una variable manteniendolas otras como constantes). Entonces, el gradiente de f es:

grad(f)=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)
Observemos que el gradiente de f es un vector, aunque f sea un campo escalar. Hay que tener en cuenta que:El gradiente apunta en la dirección en la que la derivada direccional la función f es máxima, y su módulo en un punto es el valor de ésta derivada direccional en ese punto.
Se anula en los puntos deinflexión de la función f.
El gradiente convierte un campo escalar en un campo vectorial.

Ejemplo gradiente
f(x,y,z)=
grad(f)=(2xy-,,)

f(x,y,z)=
grad(f)=(,,)


DIVERGENCIA
Si actúa sobreun campo vectorial lo puede hacer de dos formas distintas. La que a continuación presentamos se llama divergencia:
 
 

 
donde
 
La divergencia es utilizada en algunas aplicaciones físicasentre las que destacan el teorema de Gauss en teoría electromagnética, o teorema de la divergencia.


Ejemplo divergente
F(x,y,z)=()

div(F)= )=+0+senz

F(x,y,z)= (-2xy,y(senz)++z,(cosz))div(F)=)

=−2y +sinz+2y−sinz


ROTACIONAL
La otra forma de operar con el operador nabla se llama rotacional, que es algo similar al producto vectorial:

 

 

donde
 
 Este resultado esimportante ya que nos puede indicar, entre otras, cuando un campo es conservativo o no.  Si el rotacional es cero:

 se dice que   es un campo conservativo.
Ejemplo rotacional

F(x,y,z)=(4x,xylnz)...