Operadores lineales

FACULTAD DE INGENIERÍA

ÁLGEBRA LINEAL OPERADORES LINEALES

Introducción
Definiremos como operador lineal, a una operación que asocia un vector v que pertenece a V1 , un vector v que pertenece a V2 y que respeta la linealidad, es decir que esta función T: V › V cumpla sencillamente, que actúe sobre una suma de vectores y que sea equivalente a la suma de sus actuaciones sobre los vectoressuma.

Introducción
Los operadores lineales cuentan con una base ortonormal del espacio que se genera por los vectores característicos del operador, estos tienen una representación matricial diagonal y una descomposición en términos de sus proyecciones ortogonales sobre sus espacios característicos, a esto se le conoce como Teorema Espectral , que es una aplicación de los operadores lineales.Otra aplicación son las formas cuádricas, que consisten en asignar a cada elemento de un espacio vectorial x, un número real, de manera que generalice la expresión ax al cuadrado un espacio vectorial de dimensión superior a 1.

El adjunto de un operador lineal
Definición: Sea V un espacio con producto interno y sea T: V › V un operador lineal. Un operador (T*(u)|(v) = (u|T*(v)) , ¥ u , v ε VTeorema: Sea V un espacio vectorial sobre un campo K, de dimensión finita y con producto interno. Si φ: V › K es una funcional lineal, entonces existe un vector único X ε V tal que Φ (u) = (u|x), ¥ u ε V Teorema: Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y con producto interno, entonces para cada operador lineal T: V › T existe un único adjunto T*, que también es lineal.

• Teorema: SeaV un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno y sea B una base orto normal de V. Si T: V › V es un operador lineal, entonces MBB (T*) = [MBB (T)]*

• Teorema: Sea V un espacio con producto interno, W un subespacio de V y T: V › V un operador lineal; • T*(v) = N(T)L • N(T* ⁰ T) = N(T)
• Si W es invariante bajo T entonces W L es invariante bajo T* • Teorema: Sea V un espaciovectorial sobre K, con producto interno. Si S y T son operadores lineales en V y α es un escalar de K, entonces. (T*)* = T (αt)* = αt * (S + T)* S* + T* (S ⁰ T)* = T* ⁰ S*

Operadores Normales
• Definición: Sea V un espacio con producto interno y sea T: V › V un operador lineal. Se dice que T es normal si T ° T* = T* ° T. • Propiedades de los operadores normales. • Sea V un espacio con productointerno y sea T: V › V un operador normal: • 1.-|| T(V) || =|| T*(V) || , ¥ V є V • Es decir, las imágenes asignadas a un vector V cualquiera por un operador normal y por su adjunto “tiene el mismo tamaño”

Operadores Normales
• 2.- Si T(V) = λV entonces T*(V) = λV. • Todo vector característico de T es también un vector característico de T* ( aunque no necesariamente correspondiente al mismovalor que para T ) • 3.- Si V1 , V2 son vectores característicos de T correspondientes a los valores λ1 , λ2 y λ1 diferente λ2, entonces ( V1|V2 ) =0 • Esta propiedad quiere decir que, para los operadores normales, los vectores característicos asociados a valores distintos son ortogonales.

Casos particulares de operadores normales.

• Algunos casos particulares de operadores normales recibennombres especiales debido a que sus características propias son de interés para la teoría de operadores lineales. • Estos tipos de operadores suelen distinguirse con diferentes nombres cuando el espacio vectorial esta definido sobre el campo de los números complejos y cuando están definidos sobre el campo de los números reales. En la siguiente definición los nombres correspondientes al segundocaso, que tiene el nombre de “caso real”.

Casos particulares de operadores normales.
• Definicion : Sea V un espacio vectorial sobre C (sobre R) con producto interno y sea T : V› V un operador lineal, se dice que:

• 1.- T es hermitiano (simétrico) si T* = T • 2.- T es antihermitiano ( anti simétrico) si T* = -T • 3.- T es unitario (ortogonal) si T* = T -1

Propiedades de operadores...