Operadores

UNIVERSIDAD TECNICA DEL NORTE
FICA
NOMBRE: Daniel Carrera
FECHA: 21/03/2012
CARRERA: CIERCOM
Gradiente
El operador gradiente representa el conjunto de derivadas direccionales de una función de varias variables con respecto a las diferentes coordenadas de un sistema. Es un operador vectorial dado que como resultado de la operación, resulta un vector que apunta en la dirección de máximavariación de la función dada.
Esto se puede demostrar fácilmente tomando en cuenta que el diferencial total de cualquier función  viene definido por:

Divergencia
 
 
          La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o"sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.
//
 
 
Divergencia de un campo vectorial
 
La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen:

donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo  representa el operador nabla.
Esta definición está directamenterelacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.Se llaman fuentes escalares del campo  al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de 

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.
 
 
 
Coordenadas cartesianas
 
Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

el resultado es sencillo: 
Coordenadas ortogonales
 
Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los  son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados con la forma deltensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas (hx = hy = hz = 1) se reduce a la expresión anterior. Para coordenadas cilíndricas () resulta:

Para coordenadas esféricas () resulta

 
 
Coordenadas generales
 
En sistemas de coordenadas generales, no necesarimente ortogonales, la divergencia de un vector puede expresarse entérminos de las derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante del tensor métrico:

 
Divergencia de un campo tensorial
 
          El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de orden superior. En una variedad de Riemann la divergencia de un tensor T completamente simétrico

Se define como:

Por ejemplo, en teoría de la relatividad especial la energíade un sistema se representa por un tensor simétrico de segundo orden, cuya divergencia es cero. De hecho el principio de conservación de la energía relativista toma la forma:

 
Teorema de la divergencia
 
   El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia dedicho campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante en aplicaciones relacionadas con la electroestática como en la mecánica de fluidos.
El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial diferenciable definida sobre un conjunto  y sea  un conjunto cerrado limitado por una frontera  o superficie de contorno (que sea una variedad diferenciable)...