operadores

Operadores
Utilizamos la función
como sigue:

para calcular los valores medios de cualquier variable dinámica A
Z
^
A
A dx;
(1)

^
aquí el operador A está asociado a la variable dinámica A y actúa sobre la función que tiene a la
derecha, esto es
Z
Z
^ dx =
^
A
A dx;
D E
^
también le llamamos a esta cantidad valor esperado, y podemos denotarlo por A .

1 Operadoresfundamentales
Para conocer la forma de algunos de los operadores fundamentales de la mecánica cuántica
consideremos la ecuación estacionaria de Schrödinger:
~2 2
r +V =E
(2)
2m
Multiplicamos esta ecuación por
(por la izquierda) y la integramos:
Z
Z
2 Z
~
2
r dx +
V dx =
E dx;
2m
como podemos ver, el lado derecho es el promedio de la energía hEi = E, mientras que el
segundo término dellado izquierdo es el promedio del potencial hV i; por lo tanto
Z
~2
r2 dx = hEi hV i = hE V i = hT i
(3)
2m
o bien
Z
~2
~2 2
r
hT i =
dx
2m
2m
de manera que el operador asociado a la energía cinética es
~2 2
^
T =
r
(4)
2m
Regresando a la ecuación (3) tenemos entonces que
D E D E
D
E
^
^
^ ^
T + V = hEi ! hEi = T + V ;
esta suma es llamada el operador hamiltoniano
^^ ^
H =T +V:

Así, la ecuación estacionaria de Schrödinger puede escribirse como
^
H =E
La ecuación de Schrödinger puede entonces escribirse como sigue:
@
^
H = i~
@t
1

(5)
(6)
(7)

y si multiplicamos esta ecuación por

(por la izquierda) e integramos obtenemos
Z
D E
@
^
dx
H = i~
@t
esto es
Z
D E
@
^
E = i~
dx
@t
de modo que el operador de energía resulta ser@
^
(8)
E = i~
@t
Al aplicar este operador a una función estacionaria que es solución de la ecuación de
Schrödinger se obtiene lo siguiente:
iE
iE
iE
@
iE
^
^
E
= E' (x) e ~ t = i~ ' (x) e ~ t = i~
' (x) e ~ t
@t
~
= E
esto es, se obtiene una ecuación de autovalores para el operador de energía.
Ahora, recordemos que la energía cinética no relativista se relaciona con elmomento lineal a
través de la expresión T = p2 =2m, de modo que el operador asociado a p2 sería
~2 r 2

p2 =
^
de donde podemos obtener que

p = i~r;
^
para escoger el signo adecuado aplicamos este operador a una función que represente a una
ipx
partícula con momento lineal constante, esto es, una onda plana = Ae ~ :
ipx
ipx
ip
p
^ =
i~rAe ~ = i~
Ae ~
~
=
p
de modo que para teneruna ecuación de autovalores razonable escogemos el signo negativo en la
expresión para el operador de momento lineal, así:
p = i~r
^
(9)
A continuación escribimos algunos de los operadores más conocidos:
posición
x=x
^
momento lineal
p = i~r
^
^
energía
E = i~ @
@t
^
energía potencial V = V (x)
~2
^
energía cinética
T = 2m r2
^
^ ^
hamiltoniano
H =T +V
Puede verse quetodos estos operadores son lineales, esto es, cumplen con
^
^
^
F (a 1 + b 2 ) = aF 1 + bF 2

(10)

con a y b constantes arbitrarias. Esto garantiza que se cumpla el principio de superposición.
Además, es importante asegurar que los valores esperados calculados con estos operadores

2

sean magnitudes reales, esto es:
o bien

Z

D E D E
^
^
F = F
^
F dx =

Z

^
F

dx^
Es conocido del álgebra lineal que si ' y son dos funciones cuadrado integrables y F un
operador lineal tal que se cumple con la siguiente igualdad
Z
Z
^ dx =
^
'F
F ' dx

^
entonces se dice que F es un operador hermitiano o autoadjunto. Si en particular ' = vemos
que los valores esperados de un operador hermitiano son reales. Por lo tanto, en la mecánica
cuántica se utilizanoperadores hermitianos para representar las variables dinámicas de un sistema
físico.
La de nición de hermiticidad debe acompañarse por condiciones de frontera adecuadas para
' (x) y (x). Por ejemplo, consideremos el operador de momento lineal y veamos su condición
de hermiticidad:
Z 1
Z 1
@'
dx
p'dx =
^
i~
@x
1
1
Z 1
@
1
=
i~
'j 1
'
dx
@x
1
Z 1
1
' (^ ) dx
p
=
i~ 'j 1...