Opino

Módulo sobre Funciones y Gráficos
Funciones y Dominios
Una función, a valores reales, f , de una variable real x , es una regla que asigna a
todo número real x en un conjunto específico de números, un único número real bien
determinado, f(x) .
El conjunto de todos los números x para los cuales se encuentre definida f(x) , se
llama el dominio de f .
La variable x se llama la variableindependiente . Si y = f(x) , entonces diremos que
y es la variable dependiente .
Una function podrá especificarse:




numéricamente : esto es, mediante alguna tabla ;
algebraicamente : esto es, mediante alguna fórmula ;
gráficamente : esto es, mediante algún gráfico .

Cuando no se dé explícitamente ningún dominio para una función f , siempre se usará
el conjunto numérico más grande,formado por todos aquellos números x para los
cuales tenga sentido hablar de f(x) .

Ejemplos
Una función especificada numéricamente: Sea la función f, especificada a través de la

siguiente tabla.
x

0

1

2

3

f(x)

3.01

- 1.03

2.22

0.01

Entonces: f(0) = 3,01 , f(1) = - 1.03 , etcétera
Una función especificada algebraicamente: Sea la función f, especificada através de
Entonces

f (x ) = 3x 2 − 4x + 1 .
f ( 2) = 3 × ( 2)2 − 4 × 2 + 1 = 5 ,

f ( − 1) = 3 × ( − 1)2 − 4 × ( − 1) + 1 = 8 .
Puesto que la expresión f(x) se encuentra definida (o sea: se puede evaluar ) para
CUALQUIER x , vemos que el dominio de f es el conjunto de TODOS los números reales.
Una función especificada gráficamente:
siguiente GRÁFICO :

Suponte que f se especifica a travésdel

1

Entonces
f (1) = 0 , f ( 2) = 5 , f ( 0) = 1 .

Intervalos
El intervalo cerrado [ a , b] es el conjunto formado por todos los números reales x , para
los cuales valga
a ≤ x ≤ b .
El intervalo abierto (a , b) es el conjunto formado por todos los números reales x , para
los cuales valga

a < x < b .

Podremos describir estas dos clases de intervalos, diciendo que se trata enambos casos de la
totalidad de los números que se encuentran comprendidos entre a y b .
En el primer caso, diríamos que los x están entre a y b (entendiéndose que puede darse
la igualdad, tal como lo indica la fórmula matemática).
El segundo caso podría describirse en palabras, diciendo que esos x están estrictamente
entre a y b .
Notar que — en ambos casos — se trata de conjuntos que estándelimitados (por arriba, y
por debajo). Esta clase de intervalos se llaman acotados.
Si, en cambio, consideras la totalidad de los números x , para los cuales valga
o (también) la totalidad de los números x , para los cuales se tenga
deberías observar que hay una diferencia con los dos casos anteriores.

x ≥ a,

x≤ b,

En la primera de estas dos opciones, hay un evidente “tope” inferiorpara los números
considerados: en efecto (por la propia definición) éstos NO PUEDEN ser menores que el valor
dado a . Por otra parte, en esta opción NO EXISTE ningún “tope” superior para dichos
números: “vale” considerar CUALQUIER número x , a condición de que resulte NO MENOR que el
valor dado a .
Para la segunda opción se tiene algo semejante: ahora hay un evidente “tope” superior paralos números x . En efecto, la misma definición nos informa que esos números NO PUEDEN ser
mayores que el valor dado b . Por otra parte, en esta opción NO EXISTE ningún “tope” inferior
para tales números: “vale” considerar CUALQUIER número x , a condición de que resulte NO
2

MAYOR

que el dado valor b .

Estas consideraciones llevaron a inventar una notación para los conjuntos de estostipos:
El intervalo no acotado a derecha ,
[a,+ ∞ ) ,
será (por definición) el conjunto de todos aquellos números x , para los cuales valga la
desigualdad
a < x (que también podría escribirse x > a ).
Análogamente definimos el intervalo no acotado a izquierda ,

(

− ∞ ,b] ,

que es el conjunto de todos aquellos números x , para los cuales valga la desigualdad
x < b (que también...