Optica geometrica

TEORIA DE HAMILTON-JACOBI, ONDULATORIA.

OPTICA

GEOMETRICA

Y

MECANICA

Hamilton llego a la ecuación de Hamilton-Jacobi mientras estudiaba la óptica y fue Jacobi quien después estableció su relevancia también en la dinámica clásica. A manera introductoria, comencemos por la ley de Snell de la refracción de un rayo de luz sobre una superficie suave entre dos medios M1 y M 2 coníndices de refracción n1 y n2 :

n1 sin 1  n2 sin 2

(1)

donde 1 y  2 son los ángulos entre el rayo de luz y la normal a la superficie. Comparemos esto con el camino de una partícula en dos dimensiones que se mueve de una región R1 con energía potencial constante V1 a otra región R2 de diferente potencial constante V2  V1 . Supongamos que las dos regiones están separadas por una líneaparalela al eje y (figura 1), de modo tal que la partícula esta incidiendo en esta con un ángulo 1 con respecto a la normal, y que tiene suficiente momento lineal como para pasar de la región R1 a la región R2 . Sea  2 el ángulo con que la partícula abandona la normal.

R1

y
p2

R2

1

2

x

p1
Figura 1. Partícula con momento lineal p1 pasando a través de una región con energíapotencial constante V1 a otra región con energía potencial V2 .

Como la única fuerza que la partícula siente al cruzar la línea es en la dirección x, la componente y del momento lineal, p y , es la misma en las dos regiones, pero como p x cambia al ir de una región a la otra, la magnitud del momento p1 en R1 es diferente de p2 en R2 . La conservación del momento lineal en la dirección y nosqueda:

p1 sin 1  p2 sin 2

(2)

Esta última expresión es claramente similar a la ley de Snell: todas las partículas incidentes en la línea separadora con momento lineal p1 se comportan como rayos de luz pasando de un medio a otro. (El

1

índice de refracción n siempre satisface la condición n  1que no es cierto para el momento de una partícula). Uno podría explicar la ley de Snelldesde el principio de Huygens. También es posible derivarlo desde el principio variacional de Fermat del tiempo mínimo, que dice que un rayo de luz, moviéndose de un punto x1 a otro punto x2 , viaja de manera tal que minimiza el tiempo de viaje. El análogo mecánico es también un principio variacional que dice que la siguiente integral:

S   ( pi qi  H )dt   pi qi dt
es un extremo del caminofísico si los caminos comparados tienen todos la misma energía.

(3)

Para exhibir más claramente la analogía entre la dinámica clásica y la óptica geométrica concentrémonos en el principio de Fermat. El índice de refracción de un medio esta definido como

n ( x, x ) 

c 1 v

(4)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y v es la velocidad en el medio. En general n es funciónde la posición solamente. La longitud de camino óptico l de un rayo de luz viajando de un punto x1 a otro punto x2 se define

l

x2 x1

 nds

(5)

donde ds es un elemento de distancia a lo largo del rayo. Como v  ds dt ,

1 l  c  ds  c  dt v
x1 0

x2

T

(6)

donde T es el tiempo que le toma al rayo para ir de x1 a x2 . Minimizar T es lo mismo que minimizar l, y elprincipio de Fermat se puede escribir como

d dt

x2 x1

 n( x)ds  dt  0

dl

(7)

Si ahora rescribimos la ecuación (3) para una partícula de masa m en un potencial V(x), entonces

pi qi  mv 2 y la integral nos queda:
S
x2 x1

 mv

2

dt 

x2 x1

 mvds   pds
x1

x2

(8)

Si la trayectoria puede ser encontrada a partir del extremo de la integral anterior,entonces p es el análogo de n en el principio de Fermat. Esta analogía puede ser llevada más lejos, ya que las

2

propiedades de la onda del fenómeno óptico pueden ser relacionadas con la ecuación de HamiltonJacobi. En la teoría de transformaciones canónicas dentro del marco de la formulación Hamiltoniana de la mecánica clásica, se hace uso de las funciones generatrices para dichas...