Optica

Comportamiento de ondas estacionarias en cuerdas y tubos de Kundt
Autores: Resumen
Se contrastó la relación de dispersión lineal de una cuerda forzada con extremos fijos mediante el cálculo de la velocidad de fase con longitudes y tensiones variables. Verificamos la dependencia de dicha velocidad con la densidad y la tensión con un error menor al 3%. Luego, en una cuerda de densidad variable,comprobamos las relaciones teóricas entre las amplitudes y las longitudes de onda del estacionario a partir de las condiciones de contorno corroborándolas con un error del 13%. Contrastamos la misma relación de dispersión para ondas sonoras en el aire con un tubo de Kundt de extremos cerrados y cerrado-abierto; las velocidades obtenidas experimentalmente fueron: ������ = (343 ± 7) ������ ������ y������ = (342 ± 4) ������ ������ respectivamente, verificaron la teoría con un error menor al 3%. Llevando a cabo un análisis sobre la longitud teórica de la oscilación (longitud efectiva) observamos una tendencia hacia la longitud propia del tubo al aumentar el orden de modo.

Axel Lacapmesure
Depto. de Física, FCEN, UBA

Nahuel Mirón
Depto. de Física, FCEN, UBA

1. Introducción
1.1. Ondasestacionarias En nuestro experimento calculamos la velocidad de fase de una onda estacionaria en una cuerda y en un tubo de Kundt analizando la relación entre la frecuencia espacial y la frecuencia temporal a la que el sistema fue forzado. Sabiendo que la función de onda ������(������, ������) (que da la posición de cada en una dirección a todo momento) cumple la ecuación de ondas clásica [1]������2 ������ ������, ������ ������2 ������ ������, ������ 2 = ������������ ������������ 2 ������������ 2 (1)

������ ������, ������ = ������ sen ������������ + ������ cos ������������ + ������

(2)

con ������ = ������������������, ������ = 2������/������ se denomina número de onda y ������, la distancia sobre la que tiene lugar una oscilación completa, se llama longitud de onda. Sabiendo que la ecuación(2) cumple con la ecuación de ondas (1) tenemos que 2������ 2 2 = ������2 ������������ = 2������������ 2 ������������ ������ ������ ������ ������ = = ������������ (4) ������ (3)

donde ������������ se denomina velocidad de fase y es la velocidad con la que las ondas se propagan. Si el sistema está oscilando en un modo normal el comportamiento temporal para cada partícula será el mismo: cos⁡ +������). La forma espacial del modo está dada (������������ por una función dependiente de ������ y determinará la amplitud máxima con la que oscila cada partícula. Entonces podemos escribir la ecuación de un modo normal como

������������ es la velocidad de propagación de la onda y, como vemos, es propia del medio. La ecuación (4) es la relación de dispersión entre ������ y ������. Según el medio puedevariar tanto su forma como los parámetros de los que depende. El objetivo principal de todas las experiencias es contrastar experimentalmente esta relación. En el caso de cuerdas, sección 2.1., utilizaremos la siguiente ecuación para la velocidad de fase ������������ = ������0 ������0 (5)

1

donde ������0 es la tensión a la que se somete la cuerda en reposo y ������0 es la densidad lineal de masapor unidad de longitud. Finalmente podemos escribir la función de onda para un modo normal como 2������ ������ ������, ������ = ������ cos ������������ + ������ ������������������ ������ + ������ ������ (6)

tendremos una oscilación expresada por una función de onda para cada parte ������������������������ ������, ������ = ������ cos ������������ ������������������ ������1 ������������������������������ ������, ������ = ������ cos ������������ + ������ ������������������ ������2 ������ + ������ para ������ como para ������������ obtenemos. ������ = ������ = 0 ������1 ������ = ������2 ������ (11) (12)
������������

(9) (10)

Aplicando condiciones de contorno de continuidad tanto

Se puede probar que esta solución es equivalente a superponer dos ondas...