Optimització

Problemes d’optimització
Problema 1
Determineu un nombre positiu tal que la suma d’ell amb 25 vegades el seu invers siga
mínima. Quina és la suma mínima.
Problema 2
Determineu dos nombres reals positius saben que la seua suma és 10 i el producte
dels seus quadrats és màxim.
Problema 3
De tots els rectangles de perímetre 12m, determineu les dimensions del que tinga
mínima diagonal.Calculeu la mesura de la mínima diagonal.
Problema 4
De tots els rectangles d’àrea 100 dm 2 , determineu les dimensions del que tinga
mínima diagonal. Calculeu la mesura de la mínima diagonal.
Problema 5
D’entre tots els rectangles que tenen un dels vèrtexs en l’origen de coordenades,
2x 2
l’oposat en la corba y = 2
, x > 1 , un dels seus costats sobre l’eix positiu
x −1
d’abscisses i l’altresobre l’eix positiu d’ordenades, determineu el que té àrea mínima.
Problema 6
Es vol construir una caixa oberta (sense tapa) de xapa amb base quadrada i amb 32
litres de capacitat.
Determineu les dimensions de la caixa que té menor quantitat de xapa.
Problema 7
D’un terreny es desitja vendre un solar rectangular
de 12800 m 2 dividir-lo en tres parcel·les iguals
com les que apareixen aldibuix.
Si volem posar una tanca al llindar de les tres
parcel·les (vores i separacions de les parcel·les),
determineu les dimensions del solar a fi que la longitud de la tanca siga mínima.
Problema 8
S’ha de fabricar dues xapes quadrades amb distints materials cadascuna. El preu de
cadascun dels materials és de 2 i 3 euros per centímetre quadrat, respectivament.
Per altra banda la suma delsperímetres dels dos quadrats ha de ser 1 metre.
Com hem d’escollir els costats dels quadrats si volem que el cost siga mínim.
Problema 9
De tots els triangles la base dels quals i l’altura sumen 20cm, determineu el que té
àrea màxima.
Problema 10
En el primer quadrant representem un rectangle de tal manera que té un vèrtex en
l’origen de coordenades i el vèrtexs oposat en la paràbola y = −x2 + 3 .
Determineu les dimensions del rectangle a fi que l’àrea siga màxima.

Problema 11
De totes les rectes que passen pel punt P(1,2), esbrineu la que determina amb els
eixos de coordenades i en el primer quadrant un triangle d’àrea mínima i el valor de
l’àrea màxima.
D

Problema 12
Determineu les mesures del rectangle d’àrea
x2 y2
màxima inscrit en l’el·lipse
+
= 1.
16
4Calculeu l’àrea màxima.
A

S

R
1
1
O

F'

M

F B

Q

P
C

Problema 13
El costat desigual d’un triangle isòsceles mesura 12 i l’altura sobre el costat desigual 5.
Determineu el punt d’aquesta altura tal que la suma de les distàncies als tres vèrtexs
siga mínima. Calculeu la suma de les distàncies mínima.
Problema 14
Determineu les dimensions d’una porta formada per unrectangle i un
semicercle (veure figura) sabent que és la menys perímetre entre les
que tenen àrea igual a 2m 2 .
Problema 15
Quines dimensions ha de tenir un cilindre d’un litre de capacitat perquè la
superfície total siga mínima. Calculeu la superfície mínima
Problema 16
La base d’un triangle isòsceles és 12cm i l’altura 8cm.
Determineu les dimensions del rectangle d’àrea màxima inscrit en eltriangle (un dels
costats del rectangle pertany a la base del triangle isòsceles).
Problema 17
Determineu les mesures del trapezi isòsceles d'àrea mínima circumscrit a una
circumferència de radi 1m.
Problema 18
De tots els cons rectes de generatriu 9 cm quin és el de major volum.
Problema 19
Tallem un cordell de longitud 10m en dues parts en el primer tros construïm un
hexàgon regular i enel segon un triangle equilàter.
Per on hem de tallar a fi que la suma de les àrees siga mínima? Quina mínima de les
àrees?.
Problema 20
Un espill de dimensions 40 dm × 45 dm es trenca per un cantó, formant un triangle
rectangle de catets 5dm i 6dm (corresponents a les dimensions menor i major de
l’espill) i un pentàgon.
Determineu l’àrea major de l’espill en forma de rectangle que es pot...