Optimización

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Proyecto 4: Optimización |
Cálculo Diferencial |
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Pablo Benavides Herrera |
Martes, 1 de diciembre de 2009 |

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Objetivo
Diseñar y construir un modelo físico de una latacilíndrica abierta con área superficial mínima.
Datos
* Volumen de la lata= 1,600 cm3
* Acírculo=πr2
* Arectángulo=xy
* Asuperficial=Acírculo+Arectángulo
* V=πr2hProcedimiento
Primeramente, se obtiene el radio del círculo que se empleará como base de la lata. Esto se logra despejando la altura o ‘x’ en la ecuación del volumen de un cilindro para dejar lafunción con una sola variable.
Posteriormente, en la fórmula del área superficial, se sustituye el valor de ‘x’ y se deriva la función. Una vez derivada, se iguala a cero y así se obtiene elvalor del radio.
Obtención del radio ‘r’ de la base
* V=πr2h=1600cm3
* h=x
* V=πr2x=1600cm3
* V=x=1600cm3πr2
* A=πr2+2πr(1600πr2)
* A'=2πr-3200r2=0
* r=31600π
*r=7.99cm=3.15in

Para obtener la altura ‘x’ de la lata simplemente se sustituye el valor del radio ‘r’ obtenido en el paso anterior en el despeje hecho para ‘x’ del mismo paso.
Paraobtener el perímetro ‘y’ de la lata se sustituye el valor del radio en la fórmula del perímetro de un círculo
Dimensiones de la lata que producen área superficial mínima
* x=1600cm3πr2
*x=1600cm3π(7.99cm)2
* x=7.98cm=3.14in

* y=2πr
* y=2π7.99
* y=50.20cm=19.68in
El área superficial mínima de la lata se obtiene al sustituir el valor de ‘r’ en su ecuaciónoriginal.
Para convertir los centímetros cuadrados a pulgadas cuadradas se utiliza el factor de conversión 6.4516cm2=1in2, y para convertir el volumen a litros se utiliza 1000cm3=1lt.
Áreasuperficial mínima
Centímetros cuadrados:
* A=πr2+3200r
* A=π(7.99)2+3200(7.99)
* A=450.7cm2
Pulgadas cuadradas:
* A=69.86in2
Volumen de la lata
* 1600cm3
* 1.6lts