Optimización

La optimización
Definicion: El proceso de maximizar o minimizar funciones dadas, posiblemente bajo unas condiciones adicionales

Optimizar una función: encontrar el valor de la variable independiente que hace que la variable dependiente tome el valor máximo (o mínimo, según el caso). En el primer caso maximizaremos la función objetivo, en el segundo, la minimizaremos

Basilis Myrthianos ©.“Introducción a la optimización”. --Gestión empresarial y organización de empresas. FNB, Febrero de 2012

Porque necesitamos la optimización en esta asignatura? Supervivencia empresarial La maximización de los beneficios de una empresa en diversos entornos competitivos (monopolio, duopolio, competencia perfecta).

Solución: Los beneficios máximos que puede conseguir

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Contenido
1. La optimización en términos matemáticos 2. La optimización en términos Económicos 3. Ejemplos Económicos

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1. Condiciones para Maximizar una funciónEl teorema de Weierstrass: Nos asegura que una función continua en un intervalo cerrado llega a su valor máximo en alguno de los puntos del intervalo

Esto nos facilita mucho la tarea de búsqueda del punto donde está el máximo: o es en el interior del intervalo o es en los extremos del intervalo

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1. Maximizar una función derivable en un compacto
1) Buscar los máximos locales (puntos estacionarios, etc.) y, si los hay, evaluar la función. Condición de primer orden f´(x)=0

2)
3)

Evaluar la función en los extremos del conjunto.
Seleccionar, entre los anteriores, el punto que nos ha dado valor máximo.

Nota: Naturalmente, para minimizar haremos lomismo, pero buscaremos el valor más pequeño.
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Ejemplo
Tenemos la función y = 2x3 − 9x2 + 12x en el intervalo [0 :3], y buscamos el valor máximo en el intervalo dado. 1. Primero buscaremos los máximos locales a través del proceso de maximización y encontraremos: f´(x)=0→x = 1 con f(1) = 5 y x=2 con f(2)=4. 2. Segundo buscamos en los extremos y tenemos: f(0) = 0 y f(3) = 9. 3. Por lo tanto, el máximo absoluto de la función en el intervalo dado es f(3) = 9 .

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1. Funciones cóncavas y funciones convexas
Función Cóncava: Si la segundaderivada de f(x) en a es negativa entonces f´(x) es decreciente en a y f(x) es cóncava en a •Si f(x) es una función derivable dos veces y estrictamente cóncava en un intervalo o en una semirrecta, no puede tener más de un máximo local.

•Si tiene, el máximo local es también el máximo absoluto.

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1. Funciones cóncavas y funciones convexas
Función Convexa: Si la segunda derivada de f(x) en a es positiva entonces f´(x) es creciente en a y f(x) es convexa en a •Si f(x) es una función derivable dos veces y estrictamente convexa en un intervalo o en una semirrecta, no puede tener más de un mínimo local. •Si tiene, el mínimo local es también el mínimo absoluto.Basilis Myrthianos ©. “Introducción a la optimización”. --Gestión empresarial y organización de empresas. FNB, Febrero de 2012

Ejemplo
Dada la función
f x 2 x 3 18 x 2 36 x 10

determinar los intervalos de concavidad y convexidad.

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Solucion
• Para...