OPTIMIZACI N NO LINEAL

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PROGRAMACION NO LINEAL (Profesor Ms. Sc. Juan Edo. Garrido Z.)
1. OPTIMIZACION SIN RESTRICIONES:
El objetivo es caracterizar el óptimo cuando el problema no tiene restricciones. Es decir,
cuando el conjunto de soluciones factibles (Región factible) es el conjunto de los
n

números reales en n dimensiones, R . En primer lugar se verá el caso de una función
objetivo f (x ) de una variable.

1.1.Función objetivo de una variable:
En este caso el problema consiste en:
Maximizar (Minimizar): Z = f ( x )

sa : Sin restriccio nes

Si se supone que f (x ) es derivable, entonces la condición de primer orden (condición
necesaria para la existencia de un valor extremo) es:

df ( x0 )
= 0 donde x0 es el punto crítico
dx
y la condición de segundo orden (criterio para máximo ó mínimo) es que:

d 2 f( x0 )
< 0 ( Máximo )
dx 2
Si

y

d 2 f ( x0 )
> 0 ( Mínimo)
dx 2

d 2 f ( x0 )
= 0 , se debe seguir derivando hasta encontrar la primera derivada distinta
dx 2

de cero, cuando se evalúa en el punto crítico x 0 . Supóngase que la enésima derivada es
esa primera derivada distinta de cero entonces:
Si n es impar, se trata de un punto de inflexión
Si n es par se usan las condiciones de segundoorden ya expuestas:
d 2 f ( x0 )
< 0 ( Máximo)
dx 2

y

d 2 f ( x0 )
> 0 ( Mínimo) 00
dx 2

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1.2. Función objetivo de varias variables:
Este caso se puede describir como:
Maximizar (Minimizar): Z = f ( x1 , x2 ,...., xn )

sa : Sin restriccio nes

Las condiciones de primer orden (primeras derivadas parciales) reflejan que la
pendiente de la función objetivo debe ser igual a cero en todas lasdirecciones, lo cual
matemáticamente se expresa por:

fi =

δ f ( x1 , x2 ,........., xn )
= 0 , ∀ xi ; i =1, 2, ...., n
δ xi

Para las condiciones de segundo orden, el problema es que en este caso no se trata de
una sino varias primeras derivadas parciales ó derivadas de primer orden, con lo cual la
condición de segundo orden la determina un conjunto de segundas derivadas parciales.
Se define elDeterminante de Hess ó simplemente Hessiano de una función, el cual es
una matriz definida de la siguiente forma:

⎡ f11
⎢ f
H = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣ f n1

f12 ................ f1n
f 22 ................ f 2 n
M

M
f n 2.................. f nn

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

Donde:

δ 2 f ( x1 , ..........., xn )
f ij =
δ xi δ x j
Cabe hacer notar que bajo condiciones de continuidad de la función objetivo se tiene
que:

f ij = fji

, ∀ i, j

El problema que surge ahora es cómo saber si el Hessiano es positivo, negativo ó cero
en el punto donde la condición de primer orden es cero (punto crítico).
En el caso de una función de una variable la respuesta, como ya lo vimos es simple,
pues el Hessiano no es más que la segunda derivada respecto de solo una variable. En
otras palabras, el caso de una variable es un casoparticular del caso de varias variables.

3

En el caso de varias variables la respuesta pasa por definir el concepto de matriz
definida negativa y matriz definida positiva. El requisito de que la segunda derivada
sea negativa en el caso de un máximo y positiva en el caso de un mínimo se cambian
por el requisito de que el Hessiano sea definido negativo para un máximo y sea
definido positivo para unmínimo.
Matriz definida negativa: Una matriz es definida negativa si los determinantes de sus
submatrices alternan de signo, siendo el primero de ellos menor que cero. En otras
palabras deberá tenerse que:

det( H 1 ) < 0 , det( H 2 ) > 0 , det( H 3 ) < 0 , ..... PARA UN MAXIMO
Donde:

H1 = f11

⎡f
; H 2 = ⎢ 11
⎣ f 21

⎡ f11
f12 ⎤
; H 3 = ⎢⎢ f 21
⎥
f 22 ⎦
⎢⎣ f 31

f12
f 22
f 32

f13 ⎤
f 23 ⎥⎥ ...... Hn
f 33 ⎥⎦

Matriz definida positiva: Una matriz es definida positiva si todos los determinantes de
sus submatrices son mayores que cero (positivos). En otras palabras deberá tenerse que:

det( H 1 ) > 0 , det( H 2 ) > 0 , det( H 3 ) > 0 , ...... PARA UN MINIMO
Donde:

H1 = f11

⎡f
; H 2 = ⎢ 11
⎣ f 21

⎡ f11
f12 ⎤
; H 3 = ⎢⎢ f 21
⎥
f 22 ⎦
⎢⎣ f 31

f12
f 22
f 32

f13 ⎤
f 23 ⎥⎥ ...... H n
f 33 ⎥⎦...