optimizacion 1

Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados paraque el área total de sus 6 caras sea mínima.




Solucion:
Si su altura es h, el volumen de este paralelepípedo vale:

El área total de sus seis caras es:


Como sabemosque el volumen es igual a 9 litros despejemos para dejar h en función de x:



Ahora sustituyamos el valor de h en la fórmula del área:



Ahora derivamos por primeravez:



Ahora la igualamos a cero para hallar el valor de x:







Para comprobar que es un valor mínimo derivamos por segunda vez y reemplazamos el valor de x, tendríamosque obtener un valor positivo.








Por tanto, el lado más largo valdrá 3, y la altura h:








syms x
>> syms h
>> %Si su altura es h, el volumen de esteparalelepípedo vale:
>> V=2*x*x*h

V =

2*h*x^2

>> A=2*(2*x*x)+2*(2*x*h)+2*(x*h)

A =

4*x^2 + 6*h*x

>> %Como sabemos que el volumen es igual a 9 litros despejemos paradejar h en función de x:
>> h=9/(2*x^2);
>> %Ahora sustituyamos el valor de h en la fórmula del área:
>> A=4*x^2+6*x*h

A =

27/x + 4*x^2

>> %Ahora derivamos por primeravez:
>> n=diff(A)

n =

8*x - 27/x^2

>> %Ahora la igualamos a cero para hallar el valor de x:
>> m=solve(n)

m =

3/2
- 3/4 + (3*3^(1/2)*i)/4- 3/4 - (3*3^(1/2)*i)/4

>> %Para comprobar que es un valor mínimo derivamos por segunda vez y reemplazamos el valor de x, tendríamos que obtener un valor positivo.
>>x=3/2;
>> a=diff(A,2)

a =

54/x^3 + 8

>> x=3/2;
>> a=54/x^3 + 8

a =

24

>> %Por tanto, el lado más largo valdrá 3, y la altura h:
>> h=9/(2*x^2)

h =

2