Optimizacion, calculo multivariado

1.6 DERIVADAS PARCIALES EN ECONOMIA

Veremos ahora algunas aplicaciones en las que la noción de “razón de cambio” de una derivada parcial resulta útil.

1.7.1 Costo marginal

Supongamos que un fabricante produce x unidades del producto X e y unidades del producto Y. Entonces, el costo total c de esas unidades es una función de x e y; a esto se le llama función de costos conjuntos.Si una función de este tipo es C = f(x, y), entonces ∂C∂x se llama costo marginal (parcial) con respecto a x, y es la razón de cambio de C con respecto a x cuando y se mantiene fija. Similarmente, ∂C∂y es el costo marginal (parcial) con respecto a y, y es la razón de cambio de C con respecto a y cuando x se mantiene fija.
Por ejemplo, si C se expresa en dólares y ∂C∂y = 2, entonces el costo deproducir una unidad adicional de Y cuando el nivel de producción de X es fijo, es de aproximadamente 2 dólares.

Si un fabricante produce n artículos, la función de costos conjuntos es una función de n variables y habrá n funciones de costo marginal (parcial).

Ejemplo 1: Si la función de costo conjunto de la producción de las cantidades x, y de dos bienes es: C(x, y) = xln(5 + y). ¿Cuál es elcosto marginal con respecto a x y con respecto a y?
= 1*ln(5 + y) + x*0 = ln(5 + y), es el costo marginal con respecto a x

Halle usted el costo marginal con respecto a y.

Ejemplo 2: Si la función de costo conjunto de producir x, y unidades de dos bienes es:
C(x,y) = 15 + 2x2 + xy + 5y2. Halle el costo marginal con respecto a x y con respecto a y
= 4x + y, es el costo marginal con respecto ax

Halle usted el costo marginal con respecto a y.

Si x = 3 y y = 6, entonces:

= 4(3) + 6 = 18 y = 3 + 10(6) = 63

Por lo tanto, si y se mantiene constante en 6 unidades, el producir una unidad adicional de x se agregará 18 unidades monetarias(u.m.) al costo total; si x se mantiene constante en 3 unidades, la producción de una unidad adicional de y aumentará 63 u.m. al costo total.1.7.2 Productividad marginal

La elaboración de un producto depende de muchos factores en la producción. Entre éstos se encuentran la mano de obra de trabajo, el capital, el terreno, la maquinaria, etc. Por simplicidad, supongamos que la producción sólo depende del trabajo (L) y del capital (K). Si la función P = F(L, K) da la producción P cuando el productor emplea L unidades de trabajoy K unidades de capital, entonces esta función se llama función de producción. Definimos la productividad marginal con respecto a L como ∂P∂L. Ésta es la razón de cambio de P con respecto a L cuando K se mantiene fija. Igualmente la productividad marginal con respecto a K es ∂P∂K Ésta es la razón de cambio de P con respecto a K cuando L se mantiene fija.

Ejemplo 2: Un fabricante de un juguetepopular ha determinado que su función de producción es P = LK, donde L es el número de horas de de trabajo por semana y K el capital (expresado en cientos de dólares por semana) requerido para la producción semanal de P gruesas del juguete (una gruesa son 144 unidades). Determinar las funciones de productividad marginal y evaluarlas cuando L = 400 y K = 16. Interpretar los resultados.
Solución:Como P = LK, entonces

∂P∂L= K2Lk
Igualmente,
∂P∂K= L2Lk

Si L = 400 y K = 16, entonces:
∂P∂L400, 16)= K2Lk=162400(16)= 110
∂P∂K400, 16)= L2Lk=4002400(16)= 52
Así, si L = 400 y K = 16, al incrementar L a 401 y mantener K = en 16, aumentará la producción en aproximadamente 110 de gruesa. Pero si K se incrementa a 17 y se mantiene L en 400, la producción aumentará en alrededor de 52 degruesas

1.8.3 Demanda Marginal
Si las funciones de demanda para dos artículos relacionados son:

x = f(p, q) e y = g(p, q), entonces las derivadas parciales de x e y son las funciones de demanda marginal:

a) , es la demanda marginal de x con respecto a p

b) , es la demanda marginal de x con respecto a q

c) , es la demanda marginal de y con respecto a p

d) , es la demanda...