Optimizacion Dinamica

Optimización Dinámica
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Tiempo continuo

Para solucionar problemas del tipo que veremos en clase, vamos a aplicar un
resultado conocido como el Principio del Máximo. En general, este teoremase describe de la siguiente forma. Supongamos que tenemos el problema de
maximizar
Z∞
f [t, x (t) , u (t)] dt
(1)
0

sujeto a las restricciones
•

xi (t) = gi [t, x (t) , u (t)] , i = 1, . .. , n

(2)

xi (0) = xi0 , i = 1, . . . , n

(3)

lim xi (t) ≥ 0, i = 1, . . . , n.

(4)

t→∞

En esta expresión u(t) = [u1 (t), . . . , um (t)] es un vector de m controles, y
x(t) =[x1 (t), . . . , xn (t)] es un vector de n estados definidos en el intervalo
[0, ∞). Las funciones f : Rn+m → R y g : Rn → Rn son continuamente diferenciables. El Principio del Máximo dice que si u∗(t) = [u∗ (t), . . . , u∗ (t)] es
1
m
el vector que resuelve el problema de control óptimo, existen funciones λ(t) =
[λ1 (t), . . . , λn (t)] continuamente diferenciables de forma que definiendo lafunción (Hamiltoniano)
H (t, x, u, λ) = f (t, x, u) +

n
X

λi gi (t, x, u) ,

i=1

los objetos (u∗ , x∗ , λ) satisfacen las siguientes condiciones:
∂H
= 0, j = 1, . . . , m
∂ uj

(5)∂H
•
= xi , i = 1, . . . , n
∂λi

(6)

−

•
∂H
= λi , i = 1, . . . , n
∂ xi

(7)

y
lim λi (t) xi (t) = 0, i = 1, . . . , n.

t→∞

1

(8)

A estas últimas condiciones se lasdenominan condiciones de transversalidad
y a las funciones λ co-estados. Las condiciones (5) a (8) son suficientes (además
de necesarias) para una solución al problema si las funciones f y g soncóncavas
en (x, u).
Si el horizonte temporal fuese finito, es decir, si el problema fuese maximizar
respecto a x(t) y u(t) la función
ZT
f [t, x (t) , u (t)] dt
(9)
0

sujeto a las restricciones•

xi (t) = gi [t, x (t) , u (t)] , i = 1, . . . , n

(10)

xi (0) = xi0 , i = 1, . . . , n

(11)

junto con unas condiciones que pueden tomar dos formas:
caso a) x(T ) = xT , o
caso b)...