Optimizacion

´ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMIA
´ DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS ´ ´ ´ METODOS DE OPTIMIZACION DINAMICA
GU´A EXAMEN A T´TULO DE SUFICIENCIA. I I

RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS: I. Encontrar la soluci´n de las ecuaciones diferenciales siguientes por el m´todo o e de variables separables: dy = 5t s.a. y(0) = 10 dt dy b) 8 = t + 1 s.a. y(0) = 50 dt dy y3c) = 2 s.a. y(1) = 2 dt t a) II. En un determinado pa´ la propensi´n marginal a consumir est´ dada por ıs, o a la siguiente ecuaci´n: o PMgC = 1 1 − √ 2 10 Y s.a. C(100) = 85

Encuentre la funci´n de consumo correspondiente y graf´ o ıquela en el plano YC III. En un cierto pa´ se introduce una nueva m´quina dentro de la industria ıs, a de alimentos. En un principio (en t = 0), s´lo el 2 % deltotal de empresas o de esa industria adquieren la nueva m´quina. La tasa a la cual cambia el a porcentaje de empresas que adquieren la nueva m´quina conforme pasa a el tiempo, se modela con la siguiente ecuaci´n diferencial: o x = −0.25x + 24 ˙
Donde: x es el porcentaje de empresas que adquieren la nueva m´quina, a t es el tiempo medido en a˜os. n

s.a. x(0) = 2

(Recuerde que la condici´ninicial nos indica que cuando t = 0, el 2 % de las empresas o adquieren la nueva m´quina.) a Con la informaci´n anterior: o i) Obtenga la soluci´n a la ecuaci´n diferencial y graf´ o o ıquela en el plano tx para diferentes a˜ os. n ii) Determine si existe un punto equilibrio o punto de saturaci´n a partir de la o soluci´n obtenida en el inciso anterior, ¿cu´l es el porcentaje de empresas o a queadquirir´n la m´quina en el largo plazo? a a iii) Graficar el diagrama de fases de la ecuaci´n diferencial y determinar el tipo o de equilibrio (estable, inestable, condicionalmente estable). IV. Encuentre la funci´n de demanda con elasticidad precio constante y que cumple que o cuando el precio es de $1, la cantidad demandada es de $1.(Nota:Considere el signo negativo al plantear la ecuaci´ndiferencial). o V. Resuelva de forma detallada las siguientes ecuaciones diferenciales por alg´ n m´tou e do: dy + y = e3t y(0) = 200 dt dy b) 8 + 2y = t 2 y(0) = 100 dt dy c) 4t + 8ty = t 2 y(0) = 10 dt d 2U dU d) + 14 + 40U = 4t 2 + 2t + 10 dt dt 2 a) VI. En un determinado pa´ usted es contratado por su renombre como economista exıs perto en cuestiones de crecimiento econ´mico. El gobierno de aquel pa´est´ ino ıs a teresado en saber dadas las condiciones actuales, la din´mica de la inversi´n (de a o la acumulaci´n de capital) en el tiempo. En particular desea conocer si en t´rmio e nos per c´pita el pa´ llegar´ a un nivel de ingreso de equilibrio. a ıs a Usted, conocedor de varios modelos de crecimiento econ´mico, decide que el o mejor modelo para esta econom´ es el de Solow simple. As´ ustedplantea la ıa ı, siguiente ecuaci´n para la din´mica de este pa´ o a ıs: ˙ k = skα − (δ + n + g)k El gobierno ha puesto a su disposici´n la siguiente informaci´n: o o Propensi´n marginal al consumo: PMgC = 0.7 o Tasa de crecimiento de la poblaci´n: n = 1.5 % o Tasa de depreciaci´n del capital: δ = 5 % o Tasa de crecimiento de la tecnolog´ g = 2 % ıa: Participaci´n del capital en la producci´n : α =0.75(recuerde, por cada peso o o que se destina al capital, se producen 0.75 pesos) Se le pide:

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i) Determinar anal´ ıticamente la funci´n soluci´n que describe el comportamiento o o del capital en el tiempo utilizando la ecuaci´n de Bernoulli, sabiendo que en o el tiempo t = 0, se tiene un stock de capital inicial de $100. ii) Graficar la soluci´n y determinar el nivel de equilibrio de ktomando l´ o ımites. Determinar tambi´n el nivel de equilibrio de y (el ingreso per c´pita). e a iii) Graficar el diagrama de fases de la ecuaci´n diferencial respectiva, determinar o gr´ficamente el (los) punto(s) de equilibrio y clasificarlo(s). a VII. Resuelva de forma anal´ ıtica y con el diagrama de fases el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homog´neo: e x˙1 x˙2 = = 2x1...