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Espacio Vectorial:
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial seles llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:



Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir



2) tenga la propiedad asociativa, es decir


3) tenga elementoneutro , es decir

  

4) tenga elemento opuesto, es decir

 

y la operación producto por un escalar:



operación externa tal que:

5) tenga la propiedad asociativa:

  

6)  sea elemento neutro del producto:

 

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

  

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma deescalares:

  



Dependencia Lineal:
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades:
1.Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de losdemás.


También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3.Dos vectores libres del plano  = (u1, u2) y  = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.



Producto interno vectorial:
Tambiénconocido como producto interno, producto interior o producto punto es una operación binaria definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, órtogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos dedimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Norma de un vector:
Dado un vector libre (a), se llama norma de dicho vector al producto escalar del vector por sí mismo, designándose de la siguiente manera: (a)2 = a · a
Consecuencias de esa definición:
lanorma de un vector coincide con su módulo al cuadrado:
[a] · [a] · cos (a,a) = cos 0 = 1
[a]·[a] = [a]2

Vectores Ortogonales:
En matemáticas, el término ortogonalidad es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita yen geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.



Base Ortogonal:
 Los vectores que forman una base ortogonal son perpendiculares entre sí.
Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores que forman la base.



Sub-Espacios:
Un sub-espaciovectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.
Sea  un espacio vectorial sobre  y  no vacío,  es un sub-espacio vectorial de  si:



Matrices:
Una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para...