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PROGRESIONES ARITMÉTICAS- SERIES ARITMÉTICAS
SUMA FINITA DE SERIES ARITMÉTICAS
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS – SERIES GEOMÉTRICAS
SUMA FINITA E INFINITA DE SERIES GEOMÉTRICAS

Bhaskara matemático y astrónomo hindú vivió entre 114-1185. Fue el último de los matemáticos clásicos de la India



Las progresiones constituyen el ejemplo mássencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial.
El estudio de las progresiones aritméticas es paralelo al de las geométricas por cuanto las propiedades de estas últimas emanan de las primeras sin más que convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, yel producto por un número natural en una potencia de exponente natural.

El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático concreto.


Es conocido elproblema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.

En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de ntérminos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en su más conocida obra, el Lilavati , diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas.

SUCESIONES

Definición: Se llama sucesión a cualquier secuencia infinita y ordenada de números
tal que cualquier elemento de esta secuencia este únicamente determinadoEjemplo (de sucesiones)

(a) 2, 6, 12, 20, 30,……………………., an = n(n + 1)
(b) 1,2; 2,3; 3,4; 4,5; 5,5,…………., an = 0;1 + 1;1n
(c)

Cuando se habla de una sucesión cualquiera, la forma más usual de referirse a ella es escribir donde los subíndices determinan el lugar que cada término ocupa dentro de la sucesión, y lospuntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los números.



Término general de una sucesión
El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término n-ésimo.

Ejemplos:Ejercicio: determinación de términos de una sucesión

(1) ¿Cuál es el término sexagésimo de la sucesión

solución:

* Es claro que el término general de esta sucesión es
Así el término a60 será



2.- Escribir los seis primeros términos de la sucesión an = 3 · 2n - 1

solución:

a1 = 3 · 21 - 1 = 3 · 1 = 3 a4 = 3 · 23 = 24

a2 = 3 · 2 = 6a5 = 3 · 24 = 48

a3 = 3 · 22 = 12 a6 = 3 · 25 = 96

La obtención del término general de una sucesión puede entrañar una notable dificultad. No obstante, se estudiarán a continuación dos clases de sucesiones en las que el hallazgo del término general es bastante sencillo.



Progresiones aritméticas

Una sucesión de númerosreales, es una progresión aritmética (P.A) si la diferencia
entre cada término y el anterior es constante. La constante en una P.A se llama
diferencia común y la simbolizaremos con la letra d. Para que una P.A. quede completamente definida, además de especificar su diferencia común d, debemos especificar el primer término de la progresión que usualmente se denota u1.

Ejemplo (de progresiones...