optimizacion

Optimización Dinámica Tarea 1

Dependencia e independencia lineal.
Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.
Vectores linealmentedependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.


También se cumpleel reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.




Ejemplo
Determinar los valores de k para que seanlinealmente dependientes los vectores , y . Escribir como combinación lineal de y, siendo k el valor calculado.
Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.








Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito conuna combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.


Base
Tres vectores , y con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Base ortogonalUna base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.
Base ortonormal
Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.




Esta base formada por los vectores, y se denomina base canónica.

DIMENSIÓN Y BASE.
BASE
Un conjunto finito de vectores es una base para un espacio vectorial V si 

Todo conjuntode n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.
En Rn se define 

Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1),es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canoníca en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base canoníca para M22Se vio que generan a 
 , entonces es evidentemente que. Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base canónica para M22.

TEOREMA:

sies una base para V y si vÎV, entonces existe un conjunto único de escalares tales que

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque genera a V. suponga entonces que v se puedeescribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de la base.

Es decir, suponga que


Sea  dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, bastademostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene (1)

TEOREMA: suponga que dimV=n. si 

Entonces, restando se obtiene la ecuaciónpero como los v son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y solo si

 Así, y el teorema queda demostrado.

TEOREMA: si son bases en un espacio...