Optimizacion

Cap´
ıtulo 1
El problema de valor inicial. Primeros m´todos.
e
Convergencia

1.1.

El problema de valor inicial

Al modelizar problemas de la ciencia, la ingenier´ y la econom´ aparecen
ıa
ıa
con frecuencia ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuaci´n diferencial oro
dinaria (en adelante una EDO) es una relaci´n entre una variable independiente
o
y una funci´n de dichavariable y sus derivadas. Nosotros nos centraremos en
o
ecuaciones de primer orden (la derivada de mayor orden que aparece es la de
orden uno) escritas en la forma est´ndar,
a
y (x) = f (x, y (x)),

a ≤ x ≤ b,

(1.1)

donde f : [a, b] × Rd → Rd es continua. Una soluci´n de (1.1) en [a, b] es una
o
funci´n y : [a, b] → Rd , y ∈ C 1 ([a, b]) que satisface (1.1). En el caso vectorial,
o
d >1, que se puede interpretar como un sistema de ecuaciones escalares, y y
f tienen d componentes cada una,
y = (y 1 , y 2 , . . . , y d )T ,

f = (f 1 , f 2 , . . . , f d )T .
1

Observaci´n. La restricci´n a ecuaciones de primer orden no supone p´rdida
o
o
e
de generalidad, pues siempre es posible transformar un problema de mayor
orden en uno de primer orden a costa de aumentar ladimensi´n del sistema
o
(v´anse los problemas 1.1.1 y 1.1.2). Sin embargo, al restringirnos a ecuaciones
e
que se puedan escribir en forma est´ndar, s´ dejamos fuera algunos problemas:
a
ı
la EDO de primer orden m´s general, F (x, y (x), y (x)) = 0, donde y , y y F
a
tienen d componentes cada una, no siempre equivale a una unica EDO escrita
´
en forma est´ndar.
a

♠

Una EDO engeneral no define por s´ sola una soluci´n unica, y se hace
ı
o´
necesario a˜adir a la formulaci´n del problema un cierto n´mero de condicion
o
u
´
nes adicionales. Estas son o bien “condiciones de frontera”, si la informaci´n
o
adicional se da en dos o m´s valores de x, o “condiciones iniciales”, si se esa
pecifican todas las condiciones de y en un unico valor de x. En los pr´ximos
´
o
cap´ıtulos nos centraremos en el caso en que se dan condiciones iniciales, y
dejaremos el caso en que se dan condiciones de frontera para m´s adelante.
a
As´ pues, dado η = (η 1 , η 2 , . . . , η d )T ∈ Rd , buscamos una soluci´n del problema
ı
o
de valor inicial en [a, b], esto es, una funci´n y ∈ C 1 ([a, b]) que satisfaga
o
y (x) = f (x, y (x))

para a ≤ x ≤ b,

y (a) = η.

(1.2)Como se puede ver en el siguiente ejemplo, algunos problemas de valor
inicial tienen m´s de una soluci´n.
a
o
Ejemplo. Consideramos la ecuaci´n diferencial y = |y |α sujeta a la condici´n
o
o
inicial y (0) = 0, siendo α un n´mero real fijo, α ∈ (0, 1). Es facil comprobar
u
que para cualquier n´mero real no negativo c,
u
y c ( x) =

0,

0 ≤ x ≤ c,
1/(1−α)

(1 − α)

1/(1−α)

(x− c)

,

x ≥ c,

es una soluci´n del problema de valor inicial en el intervalo [0, ∞). As´ pues,
o
ı
si bien el problema tiene soluci´n, ´sta no es unica. Sin embargo, en contraste
oe
´
2

con el caso α ∈ (0, 1), si α ≥ 1 el problema de valor inicial tiene una unica
´
soluci´n, y (x) ≡ 0.
o

♣

Este ejemplo muestra que hay que pedir a la funci´n f algo m´s que cono
a
tinuidadpara asegurar que la soluci´n del problema (1.2) sea unica. Nosotros
o
´
pediremos una condici´n de crecimiento con respecto al segundo argumento de
o
la funci´n.
o
Definici´n 1.1. La funci´n f : D ⊂ R × Rd → Rd satisface una condici´n de
o
o
o
Lipschitz en D con respecto a su segunda variable si existe una constante L,
conocida como constante de Lipschitz, tal que
f (x, y ) − f (x, y) ≤ L y − y
ˆ
ˆ

∀(x, y ), (x, y ) ∈ D.
ˆ

Observaci´n. Dado que en un espacio vectorial de dimensi´n finita todas las
o
o
normas son equivalentes, la propiedad de ser Lipschitz no depende de qu´ nore
ma tomemos.

♠

Si f , adem´s de ser continua en D = [a, b] × Rd , satisface una condici´n de
a
o
Lipschitz con respecto a su segunda variable, la soluci´n, de existir, ser´...