optimizacion

Tema 1: Optimizaci´
on sin restricciones.
Ejercicios y problemas de optimizaci´
on cl´
asica
1.- Un agricultor utiliza como u
´ nicos factores la mano de obra y los fertilizantes, siendo x1
yx2 los costes de los factores anteriores. Encontrar los costes que maximizan el beneficio y
el beneficio que obtendr´ıa el agricultor si ´
este posee la siguiente funci´
on de beneficios:
B(x1 ,x2 ) = 20x1 + 26x2 + 4x1 x2 − 4x21 − 3x22
Soluci´on:
M axx1 ,x2 20x1 + 26x2 + 4x1 x2 − 4x21 − 3x22
x1 = 7, x2 = 9, B(7, 9) = 187 u.m.
2.- Un monopolista vende su producto en dos pa´ıses (q1 en elprimer mercado y q2
en el segundo mercado. Vende todo lo que produce (q1 + q2 = q) y tiene un coste de
C(q) = 2q 2 + 10q + 120. Calcular el m´
aximo beneficio que obtendr´ıa si las demandas de cadapa´ıs son las siguientes:
1
q1 = 10 − p1
5
1
q2 = 15 − p2 ,
2
siendo p1 y p2 los precios establecidos en cada pa´ıs.
Soluci´on: B(q1 , q2 )= p1 q1 + p2 q2 − C(q1 , q2 )
M ax 40q1 − 7q12 +20q2 − 4q22 − 4q1 q2 − 120
q1 = 5/2 q2 = 5/4
B(5/2, 5/4) = −115/2
Estos c´alculos indican que habr´a p´erdidas. Obs´ervese que los costes fijos de esta empresa (120) son muy
elevados con respecto alos ingresos obtenidos en el ´optimo.
3.- Determinar las constantes a y b para que la integral
∫ 1
(ax + b − f (x))2 dx
0

siendo f (x) = x2 .
Soluci´on:

∫

1

(ax + b − x2 )2 dx = 1/5 −a/2 +

M in
0

a2 − 2b
+ ab + b2
3

= 0,(obtenemos) que a = 1 y b = −1/6
2/3 1
La matriz hessiana HF =
es definida positiva.
1 2
Por lo tanto,
∫ 1
1
(x − − x2 )2 dx
6
0

De lasCPO

∂F
∂a

=0y

∂F
∂b

toma el menor valor posible.
4.- La funci´
on de beneficios de una empresa es B(K, L) = pf (K, L) − rK − wL, donde K y
L son las cantidades de capital y trabajo, pes el precio unitario al que se vende el producto
(output), r y w son los precios unitarios a los que se paga los factores de capital y trabajo
y f es la funci´
on de producci´
on (continua y...