Optimizacion

OPTIMIZACION DE FUNCIONES

Calcular la altura del cono de superficie lateral mínima circunscrito a una esfera de radio 4cm.

[pic]S = пRg

Si los triángulos DCO y DAB que son semejantes, pues OC[pic]AB y poseen un ángulo de 90º

[pic] ; g = R [pic]

En DBA [pic] g2 = R2 + x2 ; R2 = g2 – x2 ; R2 = R2 ·[pic] ;

R2·[pic] ; R2 = [pic] ; R2 = [pic] ; R2 =[pic]
R2= [pic]

Como S = пRg = пR·R·[pic] пR2 ·[pic]

S = п [pic] ; S = 4п ·[pic]

S´ = 4п ·[pic] = 4п ·[pic]

SI = 4п · [pic] ; Para que S´ = 0 [pic] x2 - 16x + 32 = 0 [pic] x = 8[pic] 4[pic]

El x = 8 - 4[pic] < 4 no es válido pues sería menor que el radio de la esfera, luego la altura del cono será 8 + 4[pic]
Calcular la longitud que deben tener los lados de un rectánguloins-crito en una circunferencia de radio 5 m para que el área del rectán-gulo sea máxima.










Si designamos por x e y las anchura y altura del rectángulo =>

Función a optimizar área : x y ( = f( x, y ) = x y

Función condición x2 + y2 = d2 x2 + y2 = 4r2 = 100
______
y = ( 25 - x2

Si sustituímos este valor en f( x, y ) obtenemos la función en unasola variable :

_____ ________ 50 x - 4x3
S = x · ( 25 - x2 = ( 25 x2 – x4 Derivamos : S´ = -----------------
2 ( 25 x2 – x4

S´= 0 ( 50 x - 4x3 = 0 ( x · (50 – 4 x2) =0

Hay tres teoricas soluciones
__
x = 0 y 4x2 = 50 ( x2 = 25 / 2 ( x = ( 5 / ( 2

La solución x = 0 y la x = - 5 / ( 2 carecen de sentido porque se refiere a una longitud
____
La única válida es : x = 5 / ( 2 y la ordenada correspondiente es : y = 5 / ( 2

El valor del área máxima será, calculada mediante S( x ) = x · y = 25 / 2 = 12,5 cm2









Con un hilo de 60 cm, formar un rectángulo que, al girar alrededor de uno de sus lados, engendre un cilindro de área lateral máxima.


[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic]
[pic]

[pic]




Determinar el punto de la curva[pic] en el que la tangente a la curva forma con el eje OX el mayor ángulo posible.


[pic]

El máximo de y ‘será calcular la y “e igualar a cero

[pic]

y”= 0 => [pic] Para ver si es máximo el + o – se halla y ‘’’

y’’’ (x) =[pic]

y”’([pic] > 0 Mín. No me vale
y”’ ([pic] [pic]

ST” = [pic]

ST” ([pic]) =[pic] => La ST es mínima para [pic]




















Determinar las dimensiones que hacen mínima la superficie total de un ortoedro si su volumen es 72 cm3 y la razón de dos de sus dimensio-nes es ½.



ST = 2 (xz + yz + xy)

y z V =x·y·z = 72
x
[pic]


[pic]

ST=[pic]

ST=[pic]Para que ST’ = 0 => [pic]

[pic] ; y = 6

[pic] Veamos que ST es mínima y no máxima.

S”=[pic]

S”(3)= [pic] > 0 Luego ST es mínimo para x = 3 , y = 6, z = 4.

















La parte escrita ocupa 400cm2 en lapágina de un libro, los márgenes superior son de 2cm y los laterales de 3cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la página para obtener la mayor economía del papel?

[pic]

x · y = 400 y =[pic]


S =[pic]

S = 424 + [pic]

SI = [pic] Para que SI = 0 ; 2400 = 4x2 ; x2 = 600 ; x = 10[pic]

SII = [pic] ; SII[pic] Mínimo
Las dimensiones pedidas son, por tanto,...