Optimizacion

OPTIMIZACION

1.- Calcular, si es que existen, Max { f ( x) / x ∈ X } y Min { f ( x) / x ∈ X } , señalando los
puntos en los que se alcanzan para las siguientes funciones.
i) f ( x1 , x2 ) = 3x12 + 4 x1 x2 + 2 x22 ;

X = { x ∈ R 2 / 2 x1 + 3x2 ≤ 6; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0}

ii) f ( x1 , x2 ) = 6 − 4 x1 − 3x2 ;

X = { x ∈ R 2 / x12 + x22 ≤ 1; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0}

iii) f ( x1 , x2 ) = 3x12 + 4 x1 x2 + 2 x22 ;X = { x ∈ R 2 / 2 x1 + 3x2 ≤ 6; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0}

2.- Utilizando las propiedades extremales de las funciones convexas y cóncavas, el
gradiente y la teoría de extremos condicionados e incondicionados, calcular , si existen,
Max { f ( x) / x ∈ X } y Min { f ( x) / x ∈ X } para las siguientes funciones y .recintos:

f ( x1 , x2 ) = 3x12 + 4 x1 x2 + 2 x22 ;
f ( x1 , x2 ) = 6 − 4 x1 − 3 x2 ;

X = {( x1, x2 ) ∈ ℝ 2 / 2 x1 + 3x 2 ≤ 6; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0}
X = {( x1 , x2 ) ∈ ℝ 2 / 2 x1 + 3x 2 ≤ 6; x1 ≥ 0; x2 ≥ 0}

3.-Sea el conjunto X={(x,y)∈R2/ x>0; y>0} y la función f(x,y)= xα y 2 , donde α>0.
1

i) ¿Para qué valores de α es f una función estrictamente cóncava en X?
ii) ¿Para qué valores de α es f una función cóncava en X?
iii) ¿Para qué valores de α es f una función convexa en X?
4 .- Sea elconjunto A={(x,y)∈R2/ 0≤x≤1; 0≤y≤1}y la función f(x,y)=αx2+αy2+2αxy.
i)

Estudia la concavidad o convexidad de f en R2 para todos los valores de α.

ii)

¿Para qué valores de α se cumple que min f ( x ) = f (0, 0) ?

iii)

¿Para qué valores de α se cumple que max f ( x ) = f (0, 0) ?

iv)

Sea α=2. Utilizando las propiedades extremales halla al menos un punto donde
se alcance el máximo de f en A.

x∈ Ax∈ A

1 2
z + xz + α yz .
2
i) ¿Para qué valores de α podemos asegurar que f es convexa en todo R3?

5.- Sea f ( x, y , z ) = 2 x 2 + y 2 +

ii) ¿Para qué valores de α podemos asegurar que f es estrictamente convexa en todo R3?
iii) ¿Para qué valores de α podemos asegurar que f no es ni convexa ni cóncava en R3?

6.- Se considera el recinto X={(x,y)∈R2/ x≥0, y≥0, x+y≤1, x≥2y} y la función f:R2→Rde la que se sabe que
f es convexa en X
∇f(0,0)=(0,0)
f1(x,y)>0, f2(x,y)<0 ∀(x,y)∈X-{(0,0)}.
Estudiando la dirección del gradiente en cada punto del recinto X y utilizando resultados
relativos a propiedades extremales de las funciones cóncavas y convexas, encuentra los
puntos de X en los que f alcanza su valor máximo y su valor mínimo.

7.- Sean X={(x,y)∈R2/ x − y 2 ≥ 0 , y ≥ 0, x ≤ 1 } y lafunción f(x,y)= x − y 3 .
Utilizando el gradiente de la función, razona cuáles son todos los puntos de X en los que
la función f alcanza el máximo y el mínimo. ¿Es convexo el conjunto de puntos donde
se alcanza el máximo de f respecto a X? ¿Y el conjunto donde se alcanza el mínimo?

8.- Sea X={(x,y)∈R2/ y≤2-x2, y≥0} y la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2 y + 4 .
Halla max f ( x ) y min f ( x )utilizando los teoremas de Kuhn-Tucker.
x∈ X

x∈ X

2
2
9.- Sea f(x,y)= x + y − 2 xy − 2 x + 2 y , y sea

X = {(x,y)∈R2/ -1≤x+y≤1; x-y≤1; x2+y2≤1}
i)

Utilizando las propiedades extremales de las funciones cóncavas y convexas, halla
min f ( x ) , indicando los puntos en los que se alcanza.
x∈ X

ii)

Comprueba analíticamente si en (0,1) se verifican las condiciones de KuhnTucker. Comprueba medianteanálisis gráfico si en (-1,0) se verifican las

iii)

condiciones de Kuhn-Tucker.
 1 1 
,
Comprueba que el punto  −
 es el único que verifica las condiciones de
2 2

Kuhn-Tucker en el tramo de frontera x2+y2=1 comprendido entre (-1,0) y (0,1).

iv)

Halla max f ( x ) , indicando algún punto en el que se alcance.
x∈ X

10.- Sea X={(x,y)∈R2/ x 2 + y 2 ≤ 4, x - y ≤ 2, x ≥ 0 } y la función f ( x, y ) =x 2 + 2 x + y 2 .

i)

ii)
iii)

Comprueba que el punto (0,0) cumple las condiciones de Kuhn-Tucker. A partir
de los teoremas de Kuhn-Tucker, ¿puedes concluir si f alcanza o no un extremo
global en (0,0)?, ¿de qué tipo?
Comprueba que en el tramo de frontera {( x, y ) ∈ X / x 2 + y 2 = 4} el único punto
que cumple las condiciones de Kuhn-Tucker es el (2,0).
Por medio de las propiedades...