Optimizacion

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS

 

PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.    Los métodos para determinar los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a  la  solución  de  problemas  prácticos,  para  resolverlos  tenemos  que  transformar  sus enunciados en fórmulas, funciones o ecuaciones.    Debido a que hay múltiples tipos de ejercicios no hay una regla única para sus soluciones,  sin embargo puede desarrollarse una estrategia general para abordarlos, la siguiente es de  mucha utilidad.    ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS A LA OPTIMIZACIÓN.    a) Identificar  los  hechos  dados  y  las  cantidades  desconocidas  que  se  tratan de  encontrar.  b) Realizar  un  croquis  o  diagrama  que  incluya  los  datos  pertinentes  introduciendo  variables para las cantidades desconocidas.  c) Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.  d) Determinar de  cuál  de  las  variables  se  desea encontrar  el máximo  o  el  mínimo  y  expresa resta variable como función de una de las otras variables.  e)Encontrar los valores críticos de la función obtenida.  f) Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos  valores críticos son máximos o mínimos.  g) Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se  obtuvo anteriormente.  h) MUCHA DEDICACIÓN Y PRÁCTICA.   1.)  Hallar  dos  números  cuya  suma  es  18,  sabiendo  que  el  producto de  uno  por  el  cuadrado el otro es máximo.  Según el enunciado  x + y = 18 y x ⋅ y 2 = Máximo  

Despejemos una en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del máximo. 
y = 18 − x ; Máximo = x (18 − x )
2

⇒ M ( x) = x (18 − x ) ,  En  esta  ecuación  hallamos  el 
2

valor de x que la hace máxima.  A.‐ Hallar la primera derivada, se iguala a cero y se resolve la ecuación resultante. 
304  damasorojas8@gmail.com,    damasorojas8@galeon.com,   joeldama@yahoo.com.   

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M ´( x) = (18 − x ) − 2 x (18 − x ) ⇒ M ´( x) = 3 ( x − 18 )( x − 6 )
2

si : M ´( x) = 0 ⇒ −3 (18 − x )( x − 6 ) = 0 ⇒ x1 = 18; x2 =6(v.c.)

 

B.‐  Calculamos  la  segunda  derivada  y  hallamos  su  valor  numérico  para  las  raíces  anteriores. 

M ′′( x) = 6 ( x − 12 ) ⇒ M ′′( 6) = −36 < 0 ⇒ ∃ máximo; M ′′(18) = 36 > 0 ∃ mínimo si x = 6 ⇒ y = 12

 

2) Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 12 cm. de lado. Cortando cuadrados  iguales  en  las  esquinas  se  construye  una  caja  abierta  doblando  los laterales.  Hallar  las  dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máximo.

                         Volumen de la caja =   v = (12 − 2 x )(12 − 2 x )( x ) ⇒ v = x (12 − 2 x )  
2

 

v( x) = x (12 − 2 x ) ⇒ v′( x) = 12( x − 2)( x − 6)
2

si : v′( x) = 0 ⇒ 12( x − 2)( x − 6) = 0 ⇒ x = 2; x = 6(v.c.)   v′′( x) = 24( x − 4) ⇒ v′′(2) = −48 < 0 ∃ máximo; v′′(6) = 48 ∃ mínimoNOTA:  Por  la  naturaleza  del  problema,  se  ve  que  x  no  puede  valer  6  cm.  Porque  el  volumen sería 0, por lo tanto x = 2 cm.  3) ¿Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada igual a  36 Dm 2  para que  sea cercado por una valla de longitud mínima? 

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Según el enunciado, área =  x . y ; x . y = 36   Mínimo =  2 x + 2 y ; Min = 2 x + 2 y   Despejamos y en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del mínimo. 
2 36 2 x 2 + 72 ⎛ 36 ⎞ 2 x + 72 y= ⇒ Min( x) = 2 x + 2 ⎜ ⎟ = ⇒...