Optimizacionvariasvariables

Capítulo I

El Problema

1.1 Planteamiento del problema

Al estudiar el cálculo de varias variables, el estudiante se encuentra con diversas dificultades:

A) Encontrar información sobre el tema que complemente la que se encuentra en los textos
B) Ver aplicaciones que le aclaren la teoría

1.2 Objetivo General

Objetivo del proyecto

Elaborar un documento que sirva de ayuda a los estudiantes deMatemática III en la Universidad Fermín Toro de tal manera que les permita reforzar sus conocimientos en las aplicaciones de las derivadas parciales en la solución de problemas prácticos y les adentre en el campo de la utilización de los conocimientos en derivadas parciales en la solución de los mismos.

1.3 Objetivos Específicos

1) Presentar información sobre el tema que complemente la que seencuentra en los textos
2) Ejemplificar con aplicaciones que aclaren la teoría

3) En algunos casos se completará el estudio del problema utilizando graficación ya que ello contribuye a la comprensión del mismo, tal como se ve al graficar la función

z = (sen r)/r, en donde r =




1.4 Justificación

....La falta de material, la complejidad de algunos textos que aún así no presentansuficientes ejemplos.
.
1.5 Alcances y Limitaciones

Se ejemplificarán y aplicarán los métodos aprendidos en clase,

Una limitación es que los ejemplos son de máximo 2 variables independientes. Sin embargo, salvo la complejidad en los cálculos, los procedimientos se pueden aplicar sin restricción para mayor número de variables.

Capítulo 2

Marco Teórico

2.1 Antecedentes

Los problemas de optimizaciónde funciones de una o mas variables se presentan no sólo en problemas de ingeniería sino también en asuntos relacionados con actividades cuotidianas especialmente relacionadas con la economía.

Algunos de estos problemas son:
a) Cálculo de costos, en donde se desea maximizar una ganancia o minizar costos. En general ambos aspectos son importantes.
b) Cálculo de distancias mínimas entre unatrayectoria y un punto o problemas similares
c) Cálculo de cantidades producidas, ya sean unidades, peso u otra medida de producción, cumpliendo ciertas restricciones respecto de los insumos
2.2 Bases Teóricas

Máximo y Mínimo relativos

Para calcular valores máximos o mínimos locales de una función de una variable, es común:
2. Calcular la 1ra. derivada
3. Igualar la 1ra. derivada a 0 y a partir deallí, calcular los “puntos críticos”
4. Calcular la 2da. derivada en los puntos críticos
a) Si la segunda derivada es positiva en el punto crítico, la función tiene un valor “mínimo local” en tal punto.
b) Si la 2da. derivada es negativa, en tal punto crítico, la función alcanza un “máximo local” en tal punto.
c) Si la segunda derivada es igual a 0, en el punto crítico, el punto es un punto de“inflexion”.

Los gráficos ejemplifican los casos:

(a) (b) (c)










Aún en los casos a) y b), para calcular máximos o mínimos “globales”, hay que comparar los valores máximos y mínimos “locales”, hallados antes, con los valores de la función en los extremos del intervalo ya que podrían presentarse situaciones como se muestra en el siguiente gráfico:






a b

en donde losmáximos o mínimos locales, en el interior del intervalo a,b no son máximos o mínimos globales, los cuales en este caso se encuentran en los extremos a y b. En tales puntos, no sucede que f’(a) = 0 o f’(b) = 0. La condición f’(x) = 0 no garantiza “siempre” que el punto sea un mínimo o un máximo local, tal como sucede en los puntos de inflexión. Por ello se dice que la condición f’(x) = 0 no es unacondición suficiente, pero si necesaria, bajo ciertas condiciones de diferenciabilidad en el interior del intervalo (que la primera derivada exista y sea continua).

Esta distinción entre condiciónes necesarias y suficientes, es fundamental en toda investigación.

Pese a ello, en la práctica, los métodos de optimización comienzan buscando los puntos en los cuales se cumple la condición...