Orbitas Circulares

Universidad de Chile Facultad De Ciencias Física y Matemáticas Departamento de Física FI2001-Mécanica

Profesor Auxiliar: Pablo Galaz

Estabilidad en orbitas circulares
Si analizamos de la formamás general una fuerza central del tipo:

r ) F (r ) = − F ( r ) r
podemos escribirla de la siguiente forma en coordenadas polares:
2 l0

(1)

− F ( r ) = m( r − r θ ) = m( r −
recordandoque en fuerzas centrales, l0 = r
2 .

..

..

..

r

) 3

(2)

θ = rvtg = cte ∀t .
..

Así, si consideramos que el orbital es circular:

r = a = cte ⇒ r = 0
De esta forma, tenemosde (2):
2 l0

(3)

F (r ) = m

r

3

(4)

Aquí cabe destacar que cuando decimos “la partícula tiene una orbita circular” de radio r=a, entonces imponemos que el sistema alcanza unequilibrio estable en dicho punto. En particular, la fuerza percibida a esa distancia es de:

F (a ) = m

2 l0

(5)

a

3

Ahora bien, si nosotros introducimos una pequeña perturbación radial,definida como ξ, entorno al punto de equilibrio tendremos que:

r = a +ξ ⇒ r =ξ
Así, reemplazando en (2):
..

..

..

(6)

⇒ − F (a + ξ ) = m(ξ −

2 l0

(a + ξ ) 3

)

(7)

Comohablamos de una pequeña perturbación (ie, ξ es muy pequeño) podemos hacer un desarrollo de Taylor de orden 1 para aproximar la parte izquierda de la ecuación (7):

F (r ) = F (a + ξ ) = F (a ) + F '(a)ξ + ...

(8)

Luego, podemos hacer otra aproximación para el lado derecho de la ecuación (7):

1 (a + ξ )
3

=

1 a (1 + a )
3

ξ 3

=

ξ 1 ξ (1 + )− 3 ≈ 3 (1 − 3 ) a a a a
1
32 3ml0 ξ

(9)

Por lo tanto, si reemplazamos (8) y (9) en (7):

⇒ − F (a ) − F ' (a )ξ = m ξ − m

..

2 l0

a

3

+

(10)

a

4

Y gracias a la ecuación (5) podemossimplificar, llegando a una expresión de la forma:

ξ+

..

3F (a ) + aF ' (a ) ξ =0 ma

(11)

Así, para que (11) sea la ecuación de un movimiento armónico simple se debe tener que:

3F (a) + aF '...