Organica

ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES
Una ecuación no lineal puede ser una ecuación polinomial de orden diferente a uno o puede contener alguna función tal como seno, coseno, logaritmo, etc. Porejemplo:
ln x + 3x @ 5 = 0
` a

x 3 + x 2 @ 3x = 5

Esta última ecuación podemos expresarla como x 3 + x 2 @ 3x @ 5 = 0 Con lo cual nuestro problema se traduce a encontrar una raíz de f(x) METODO DENEWTON Este método fue generado gráficamente por Newton. Polinomio de aproximación de Taylor: f(x0)=0
f x = P n x + R *x
` a ` a ` a

Si suponemos que el error de truncamiento es cero, el polinomiode aproximación de grado 1 sería:
f x = f x0 + f . x0
` a b c b cb

x @ x0

c

Tenemos que encontrar una x tal que f(x) sea igual a cero.
0 = f x + f. x0
` a
cb

b

cb

x @ x0
` ac

y de aquí:

f. x0

b

x @ x0 =@ f x
` a ffffff x fffff fffff fffff b c

c

x @ x0 =@

f. x0

y

x = x0 @

ffffff x0 fffff fffff fffff f. x0
b c

b

c

Método de NewtonCalcular x tal que f(x) = 0 “resuelva la ecuación” Ejemplo: Encontrar la raíz de la siguiente ecuación utilizando el Método de Newton

x 3 + 2x 2 @ 3x = @ 5 f x = x 3 + 2x 2 @ 3x + 5
` a

f. x = 3x 2 + 4x @ 3
` a

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

xi -8 -5.738854 -4.353495 -3.625129 -3.375115 -3.34461 -3.344171 -3.344171 -3.344171

f(xi) -355 -100.92 -26.5451 -5.48135 -0.53915 -0.00753-1.5E-06 -6E-14 0

f'(xi) 157 72.847905 36.44477 21.924173 17.673749 17.180804 17.17376 17.173759 17.173759

xi+1=xi-f(xi)/f'(xi) ABS(f(xi)) -5.738853503 355 -4.353494725 100.920484 -3.62512946526.5451044 -3.375115297 5.48135389 -3.344609771 0.53914699 -3.344171319 0.00753295 -3.344171229 1.5443E-06 -3.344171229 6.0396E-14 -3.344171229 0

En la tabla anterior se muestran las iteracionesutilizando x0 = -8 Suponiendo que tenemos una tolerancia de 0.00001, en la sexta iteración tenemos que f(xi) ≤ tolerancia

f ( x)
Pendiente f ′( xi ) =

f ( xi )
f ( xi ) − 0

Comportamiento gráfico...