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Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND
1) Objetivos:
• Utilizar los teoremas del algebra Booleana para simplificar expresiones lógicas.
• Implementar el circuito base, el circuito simplificado y el circuito solo con NAND comprobando así que los tres son equivalentes.
2) Materiales:
• 4 resistencias 1k ½ w
• 4 Diodos LED (ILED=15mA)
•Transistor NPN 2N3904
• 1 Deep switch
• Compuertas lógicas: NOT, OR, AND, y NAND
• Cable para circuitos, pinza, corta frío.
• Fuente de 5Vcc
3) Marco Teórico:
Teoremas Boléanos:
Son un conjunto de reglas que nos pueden ayudar a simplificar las expresiones y los circuitos lógicos.A continuación se muestran dichos teoremas.
En el teorema (1) se enuncia que si cualquier variablese opera con AND y con un 0 el resu1táo debe ser 0. Esto es fácil de recordar porque la operación AND es igual que la multiplicación común, en donde cualquier número que se multiplica por 0 es 0. Asimismo, se sabe que la salida de una compuerta AND será 0 siempre que cualquier salida sea 0, sin importar el nivel de la otra entrada.
[pic]
El teorema (2) también es obvio en comparación con lamultiplicación común.
El teorema (3) puede ser demostrado ensayando cada caso. Si x=0, entonces 0.0 = 0; si x = 1, entonces 1.1 = 1. Por lo tanto, x . x = x.
El teorema (4) se puede demostrar en la misma forma. Sin embargo, también se puede razonar que en cualquier momento x o su inversoøx tiene que estar en el nivel 0 y por ende su producto AND siempre debe ser 0.
El teorema (5) es directo, ya que0 sumado a cualquier número no afecta su valor, ya sea en la suma regular ó en una suma OR.
El teorema (6) estipula que si cualquier variable se opera con OR con 1, el resultado siempre será 1. Si verificamos esto para ambos valores de x; 0 + 1 = 1 y 1 + 1=1. De manera equivalente se puede recordar que la salida de una compuerta OR será 1 cuando cualquier entrada sea 1, independientemente delvalor de la otra entrada.
El teorema (7) se puede demostrar verificando ambos valores de x; 0 + 0 = 0 y 1 + 1 = 1.
El teorema (8) se puede demostrar de forma similar, o simplemente podemos razonar que en cualquier momento x oøx debe estar en el nivel 1, de manera que siempre se opere con OR un 0 y un 1, lo cual da como resultado 1.
Teoremas con variables múltiples.
Los teoremas que se presentan acontinuación implican más de una variable.Los teoremas (9) y (10) se llaman leyes conmutativas. Estas leyes indican que no importa el orden en que se operen dos variables con OR o con AND, el resultado es el mismo.
9) x + y = y + x
10) x . y = y . x
Los teoremas (11) y (12) son las leyes asociativas, las cuales afirman que se pueden agrupar las variables en una expresión AND o en una OR encualquier forma que se desee.
11) x + (y + z) = (x + y) +z = x + y + z
12) x(yz) = (xy)z = xyz
El teorema (13) es la ley distributiva, la cual estipula que una expresión se puede desarrollar multiplicando término por término, como en el álgebra común.
13a) x(y + z) = xy + xz
13b) (w + x)(y + z) = wy + xy + wz + xz
Los teoremas anteriores son simple de entender pues obedecen al algebra común adiferencia de los que se muestran a continuación:
14) x + xy = x
15a) x +øxy = x + y
15b) øx + xy =øx + y

Teoremas de DeMorgan
Estos teoremas son de gran utilidad para simplificar expresiones en las que se invierte un producto o una suma de variables. Los teoremas son:
16) )
17) )
Implicaciones del teorema de DeMorgan.
Considerando el teorema 16
El lado izquierdo de la ecuación se puedetomar como la salida de una compuerta NOR cuyas entradas son x y . Por otra parte, el lado derecho de la ecuación es el resultado de primero invertir x y y luego pasarlas a través de una compuerta AND. Estas representaciones son equivalentes como se ilustra en las figuras.
Ahora consideramos el teorema 17
El lado izquierdo de la ecuación se puede implementar con una compuerta NAND con...