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UNLP – Facultad de Ingeniería Carreras: Ing. Electromecánica y Electricista

Materia: Estadística Magíster Lic. Alicia Ledesma

CAPÍTULO 4. PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1. El tiempo de vida T ó duración de ciertos componentes electrónicos C es una v.a. con distribución exponencial con media = 4000 horas. Un equipo E está formado por cinco componentes C dispuestos en serie, de manera que elequipo E falla cuando cualquiera de los componentes C lo hace (los tiempos de vida de los componentes del equipo son v.a. independientes). a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de vida de un equipo sea inferior a 1000 horas. b) Obtener la función de densidad de la variable aleatoria Tiempo de funcionamiento de un equipo E y calcular su media. c) Diez equipos E se pusieron en funcionamientosimultáneamente, obteniéndose los siguientes tiempos de vida: 73, 150, 162, 368, 592, 985, a las 1000 horas el ensayo se interrumpió y 4 equipos no habían fallado. Estimar por MV el tiempo de vida medio de los equipos. Solución a) La probabilidad de que un equipo dure menos de 1000 horas será la probabilidad de que al menos uno de los componentes del equipo dure menos de 1000 horas. Si TE es lav.a. que representa el tiempo de vida de un equipo, se tiene: P [TE  1000] = 1 – P [T] 1000]5 Por ser los componentes v.a. exponenciales con media 4000 horas, y recordando que: si T es v.a. con distribución exponencial con parámetro , la f.d.p de T será:

 1 t/α  e f(t)   α 0 
y E(T) = 
1000

si t  0 en caso contrario

Entonces:

P(T  1000) 


1

1 . e -t/4000 dt  1  e1/4  0,22 4000
(revisar las cuentas)

 P(T > 1000) = 0,78 y P(TE < 1000) = 1 – 0,785 = 0,72

b) Nos pide hallar la f.d.p de la v.a .tiempo de funcionamiento de un equipo E, es decir la f.d.p de TE. Recordando lo hecho en probabilidades: Primer paso. hallar la F.d.a.

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 1  FE (t)  P(TE  t)  1  P(T  t   1    4000 . e -t/4000 dt  t 
5

5

integrando se obtiene:

FE(t) = 1-e-5t / 4000, cuando t > 0
Segundo paso: derivamos respecto de t, para obtener la f.d.p. Recordar que:

f E (t) 

dFE (t) dt
1 . e -t / 800 800 cuando t  0

Operando se obtiene: f (t) 

E

Tercer paso: Ver para que valores de t, lafunción obtenida es una f.d.p. En este caso no hay nada que hacer al respecto  la función buscada es:

 1 .e  t / 800 si t  0  f E (t)   800 0 en caso contrario 
Observar que es una función de densidad de una v.a. con distribución exponencial y media 800 c) En este problema de estimación hay que tener en cuenta que no se conoce el valor exacto de 4 datos muestrales, siendo toda lainformación relativa a estos datos “que son mayores que 1000”. En este caso la función de verosimilitud viene dada por:

f (t1; α)....f (t ; α).P (TE  t ) n k k f
donde: n = tamaño muestral k = número de datos muestrales conocidos con exactitud

tf = límite de las observaciones (en este caso 1000)
por tanto la función de verosimilitud vendrá dada por:

f(t ; α).f(t ; α)......f(t ; α).P(TE 1000)106  1 2 6 1 -t /α 1 -t /α 1 -t /α  . e 1 . . e 2 ..... . e 6 . (e-1000/α ) 4  α α α 6 -  t /α i 1  . e i1 . (e-1000/α ) 4 α6

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Observar que se debe tener en cuenta que la v.a. tiene distribución exponencial con parámetro , y el últimofactor, es decir (e-1000/)4, representa la probabilidad de que haya 4 equipos cuya duración sea superior a las 1000 horas. Tomando logaritmo a lo obtenido:

6 - t /α i 6 1 4000 ln( . e i1 . (e -1000 / α ) 4 )  6 ln α   t / α  i α i1 α6
Derivando respecto de  la expresión obtenida e igualando a cero, se obtiene la ecuación:

6 1  α α2

6

t
i 1

i



4000 0 α2...