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Version: Spanish.

PRIMER DIA
Tokio, 13 de julio de 2003.

Problema 1. Sea A un subconjunto del conjunto S = {1, 2, . . . , 1000000} con 101
elementos exactamente. Demostrar queexisten n´
umeros t1 , t2 , . . . , t100
en S tales que los conjuntos
Aj = {x + tj | x ∈ A} para j = 1, 2, . . . , 100
son disjuntos dos a dos.

Problema 2. Determinar todas lasparejas de enteros positivos (a, b) tales que
a2
2ab2 − b3 + 1
es un entero positivo.

Problema 3. Consideremos un hex´agono convexo tal que para cualesquiera dos lados
opuestos severifica √
la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos
medios es igual a 3/2 multiplicado por la suma de sus longitudes.
Demostrar que todos los ´angulos del hex´agono soniguales.
(Un hex´agono convexo ABCDEF tiene tres parejas de lados opuestos:
AB y DE, BC y EF , CD y F A.)

Tiempo: 4 horas y media.
Cada problema vale 7 puntos.

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SEGUNDO DIA
Tokio, 14 de julio de 2003.

Problema 4. Sea ABCD un cuadril´atero convexo cuyos v´ertices est´an sobre una
circunferencia. Sean P, Q y R los pies de lasperpendiculares trazadas
desde D a las rectas BC, CA y AB respectivamente. Demostrar que
P Q = QR si y s´olo si las bisectrices de los ´angulos ABC y ADC se
cortan sobre la recta AC.Problema 5. Sea n un entero positivo, y x1 , x2 , . . . , xn n´
umeros reales tales que
x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn .
(a) Demostrar que


n

2

n

|xi − xj | ≤


i=1 j=1

2(n2− 1) n n
(xi − xj )2 .
3
i=1 j=1

(b) Demostrar que se cumple la igualdad si y s´olo si x1 , x2 , . . . , xn
forman una progresi´on aritm´etica.

Problema 6. Sea p un n´
umeroprimo. Demostrar que existe un n´
umero primo q tal
que, para todo entero n, el n´
umero np − p no es divisible por q.

Tiempo: 4 horas y media.
Cada problema vale 7 puntos.