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SUMAS DE RIEMANN

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, estemétodo es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste en trazar un númerofinito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen deerror muy grande.
Definición
Consideremos lo siguiente:
• una función
donde D es un subconjunto de los números reales
• I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
• Un conjunto finitode puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = bcrean una partición de I
P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la sumade Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.
Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma deRiemann por la izquierda.
Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición delintervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
• La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

S(f, P) = cj (xj - xj-1)
donde cj es elsupremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].
• La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

I(f, P) = dj (xj - xj-1)
donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].Variación de las sumas de Riemann
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
• La suma inferior aumenta a...