origami

Funciones
Cuadráticas

Ing. Pedro Napoleón Guerrero Arizmendi
UAEM

Índice


Propiedades de las funciones cuadráticas



Solución de una función cuadrática



Formas para hallar una solución

Propiedades de una ecuación
cuadrática


Forma estándar cuadrática:
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
donde x es una variable y a , b y c son
constantes.

Propiedades de unaecuación
cuadrática


Forma Vértice:
y = a(x – h)2 + k

Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola.
El vértice siempre es: (h, k)

Solución de una ecuación
cuadrática




La solución de una ecuación cuadrática es
lo mismo que hallar los ceros de la
ecuación cuadrática.
Los ceros de una ecuación cuadrática son
los puntos donde la parábola intercepta el
eje de x.Formas de hallar la solución de
una función cuadrática
Factorización
Raíz cuadrada
Completando al cuadrado
Fórmula Cuadrática

Hallando la solución por
factorización

Ejemplo 1
Halla la solución mediante factorización:
x2 – 8x + 7 = 0
Observemos si hay factores comunes.
Observemos si es cuadrado perfecto.
Factores de x2
Factores de 7 que sumado o restado de a -8
La otra forma defactorizar un trinomio es por tanteo :
( ___ ____ ) ( _____ _____)
x
-1
x -7

x2

– 8x + 7 = 0

Por lo tanto

(x-7) (x-1) = 0
(x-7) = 0

ó

(x-1) = 0

Propiedad del producto
de cero

x=7 ó x=1
Esto implica que los ceros de esa
parábola son (7,0) y (1,0)

Ejemplo 2
Halla la solución mediante factorización:
6x2 – 19x – 7 = 0
( 2x -7 ) ( 3x + 1 ) = 0
-21x
(2x – 7) = 0 ó(3x + 1) = 0
2x
Verifica que el término del
x = 7/2
medio sea -19x
ó x = -1/3
Los cero son (3 ½, 0) y (-1/3, 0 )

Ejemplo 3
Halla la solución mediante factorización:
x2 - 6x + 5 = 0
( x-5 ) ( x -1 ) =0
(x – 5) = 0
x = 5 ó

( x – 1 )= 0
x = 1

Los puntos son (5,0) y ( 1 ,0)

Ejemplo 4
Halla la solución mediante factorización:
2x2 = 3x
2x2 - 3x = 0 Igualamos a cero
Hay unfactor común por lo tanto la factorización sérá:
x ( 2x – 3) = 0
x = 0 ó x = 3/2
Los interceptos son: (0,0) y (3/2,0)

Hallando la solución por
raíz cuadrada

Solución por raíz cuadrada:
Ejemplo 1:

2x2 – 3 = 0

Despejemos por la variable

2x2 = 3
x2 = 3/2

2
3

x
2
2

Los interceptos son: (

6
2

6

2

, 0) y ( 6 , 0)
2

Solución por raíz cuadrada:Ejemplo 2

3x2 + 27 = 0
3x2 = -27
x2 = -27/3
x2 = -9

x   9

x  3i
Los interceptos son: (3i, 0) y (-3i, 0)

Solución por raíz cuadrada:
Ejemplo 3

(x + ½ )2 = 5/4

Primero elimina el exponente 2
Ahora elimino el 1/2

5
(x  1 )  
2
4
5
(x  1 )  
2
2

1
5
x 
2 2

Los interceptos son:

1  5
-1 - 5
(
,0) y (
)
2
2

Importante:
Para resolverpor raíz cuadrada la
ecuación debe tener dos términos.

Ejercicios:
Hoja fotocopiada p. 3

Hallando la solución
completando al cuadrado

Repasemos
Multiplica mentalmente:

1. (x+3)2
2. (x-4)2
3. (2x-7)2
4. (3x+2)2

Solución
Multiplica mentalmente:

1. (x+3)2
2. (x-4)2
3. (2x-7)2
4. (3x+2)2

x2 + 6x + 9
x2 – 8x + 16
4x2 – 28x + 49
9x2 + 12x + 4

Generalización:El resultado de la multiplicación mentalmente del
cuadrado de un binomio :
1. Siempre será un trinomio

2. El primer y tercer término es el cuadrado
del primer y segundo término del binomio.
3. El segundo término es el doble del producto
del primer y segundo término del binomio.

Factoriza cada trinomio si es posible
1. x2 – 12x + 36
2. m2 + 10m + 25

3. 4t2 – 20t + 25
4. h2 – 7h +49
5. y2 + 14y + 14
6. 9 – 6t – t2

Solución

1. (x – 6)2
2. (m + 5)2
3. (2t – 5)2

4. No
factorizable

5. No factorizable
6. No factorizable

¿Cómo saber si un trinomio es cuadrado
perfecto?

1. El primer y tercer término son
cuadrados perfectos y positivos.
2. El segundo término es el doble del
producto de un factor de primer y tercer
termino del trinomio.

¿Cómo...