Origen de los números complejos

1.1.Orígendelosnúmeroscomplejos Aunquehoynosesmuyfamiliarelconceptodenúmero,éstefueelaboradomuylentamenteatravésdelostiempos.Inclusoentiemposrecientes, tribusquemanteníannormasdevidamuyprimitivasteníanlosconceptos numéricosmuyatrasados.Porejemplo,sedancasosenlosquenoexistía nombreparacantidadesmayoresquetres;enotros,paranúmerosunpocomayoresseutilizabantérminossimilaresa“muchos”o“incontables”. Siretrocedemosaltiempo,delascuatrograndescivilizacionesdelmundooccidentalantiguo(Babilonia,Egipto,GreciayRoma)veremosque babiloniosygriegosdesarrollaronelevadosconocimientosmatemáticos. Parapoderrealizarimportantesobrasagrícolasyarquitectónicas,los babiloniostuvieronquedesarrollar,haciaelsigloXXIIa.n.e.,unsistemadenumeraciónútil,Sesabequesusistemadenumeracióneradebase60 (adiferenciadelactual,queesdebase10);esdecir,dividíanlaunidaden 60partes(deformasimilaracomodividimosunahoraen60minutos). Lossumeriostambiénutilizabanestesistemadenumeración,yrealizaban complicadoscálculosaritméticos.Aunquelosegipciosnohicieronaportacionestansignificantescomol-
osgriegosaldesarrollodelosnúmeros,se haencontradouninteresantedocumento,enelcualsedemuestraqueyamanejabanalgunasfraccionessencillas.Estedocumentosedenominael PapirodeRhind.FueescritobajoelreinadodelReyHicsoEkenenre Apopi,haciael1600a.n.e.,yalparecer,esunatranscripcióndeunescrito másantiguo,queseremontaríaalreinadodeAmenemhatoAmenemesIII (XIIdinastía,1850–1800a.n.e.).Enestepapiroseobservanunasreglas pararealizarsumasyrestasdefracciones.Cuandosedebíarealizarunareparticiónexacta,nosepresentabanproblemasdecálculo;sinembargo,si habíaquedividir42panesentre10personas,laoperaciónsecomplicaba. Enestoscasos,losbabiloniosutilizabanelnúmerodecimal4.2,mientras quelosegipcios,conunsistemadenumeraciónmásprimitivo,necesitaban delasfraccionesparaexpresarestasdivisionesnoexactas.Conocíanlas fraccionesdenumerador1ydedenominador2,3,4,etc.,ademásdelas fracciones2 3y3 4.EnelpapirodeRhindseproponeunmétododecálculo (bastantepesado)quepermitedividir19entre2.Elmétodoempleadopara ladivisiónesrealmentecurioso.Sebasaenlamultiplicaciónysiemprese obteníancantidadesenterasofraccionesexactas.Nopodemosasegurarque desconociesentotalmenteelresto,peronotenemospruebasdedivisionesenlasqueaparezca.Sisequieredividirn÷mentonceslaideaconsisteenobtenerelnúmerodemydepartesdemquesumann.Comoyahemoscomentadoelsistemasebasaenlamultiplicación,peroahoraeseldivisorelnúmeroqueseduplica.Segeneraunatablade2columnasquetieneenlaprimerafilaelnúmero1yeldenominadorm.Laideasebasaenobtenerenlacolumnadeladerechaelnúmeronconlaconstruccióndesucesivasfilasobtenidasporduplicaciónodivisión.Eldividendoseobtiene,entonces,comolasumadeloselementosduplicadosdelacolumnadeldivisor,yelcocienteeslasumadelosnúmeroselegidosenlacolumnabasedeladuplicación.Porejemploparadividir213sehacía:1326412Aligualqueenlamultiplicaciónelsiguientenúmeroserá8ycorresponderíaa24queesmayorque21.Portantonosesigueconlatabla.Sielnúmero21sepuedeobtenercomosumadelosvaloresdelacolumnadeladerecha,entoncesyaestá.Enestecaso12+6+3=21→213=4+2+1=7Esteejemploeselmássencillo,puesladivisiónesentera.Elproblemasurgíacuandonoseobteníandivisionesenterasyhabíaqueutilizarfracciones.Paradividir216seejecutabaelmismoprocesoanterior,perocuandoseobtieneunnúmeromayorqueelnumerador,siestenosepuedeobtenercomosumadevaloresdelacolumnadeladerech-a,secontinúalatabla,dividiendopor2.16212123Ahorayanotienesentidoponer4→24porque24>21.Tampocosepuedeobtenerelvalor21comosumadevaloresdelacolumnadeladerecha;portantosecontinúacondivisiones(12,14,...)6+12+3=21→216=1+2+12=3.5Lógicamenteeltemasepuedecomplicarbastantemás.¿Quépasasillegamosaunpuntoenelquenotenemosnúmerosenterosenlacolumnadeladerecha?Porahorasimplementevamosaemplearestosmétodospararealizarladivisión10013.Elproblemaeselnúmero65delpapiroAhmesqueseresuelvedelasiguienteforma....