origen del calculo

DEL ÁREA A LA INTEGRAL.
UN ESTUDIO EN EL CONTEXTO EDUCATIVO
TURÉGANO MORATALLA, P.
Departamento de Matemáticas. Universidad de Castilla-La Mancha.
SUMMARY
We present in this paper the development and results of some research into the concepts of definite integral which
manifest themselves in students when this concept is introduced to them through its geometric definition and
independentlyof the derivative.
EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN.
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO DEL
TRABAJO
Recogemos en este informe un resumen de tesis doctoral
(Turégano, 1994) realizada sobre un tema del currículo
de bachillerato en España y en otros países: la integral
definida. Podemos enmarcarlo dentro de los temas que
integran lo que llamamos «pensamiento matemático
avanzado». Los conceptos de lasmatemáticas avanzadas
tienen una complejidad intrínseca, pues cada uno de
ellos se basa en conceptos más elementales y no puede
entenderse sin una sólida y, a veces, muy específica
comprensión de éstos.
El trabajo tiene su origen en la reflexión que la investigadora,
en un momento determinado de su práctica
educativa, hace acerca del fracaso de sus alumnos en la
comprensión de los conceptosde cálculo, en general, y
de la integral definida, en particular. Esta reflexión le
lleva a darse cuenta de que, hasta que no tienen 16 años
aproximadamente, los estudiantes no oyen hablar del
infinito, de la idea de límite, etc. La enseñanza del
cálculo no pasa por una fase previa de carácter experimental.
El resultado es que, a partir de ese momento, los
estudiantes deben asimilar almismo tiempo los fenómenos
asociados a las apariciones del infinito y de los
límites, y los conceptos y teorías formales que los expresan
y desarrollan matemáticamente. Interviene ahí una
teoría que no tiene como función ordenar un conjunto
rico en experiencias previas, simplemente porque tal
conjunto no existe. Freudenthal (1973) ha puesto en
evidencia las dificultades que resultan de esteestado de
cosas.
Tras un análisis exhaustivo de la bibliografía sobre las
investigaciones realizadas en ese campo, hemos constatado
que los estudiantes no tienen un rendimiento aceptable
en los cursos de cálculo, ni siquiera en la universidad.
Las causas que explican esta realidad las encontramos
en el terreno epistemológico (Sierpinska, 1985a y b,
1987a y b, 1989), en el terreno didáctico(Orton, 1979,
1983a, 1983b) y en el terreno psicológico (Tall y Vinner,
1981; Vinner, 1991).
INVESTIGACIÓN DIDÁCTICA
234 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1998, 16 (2)
En cuanto a nuestro objeto de investigación, la integral
definida, existen estudios cuyas conclusiones hablan por
sí mismas de la necesidad de un cambio de enfoque
conceptual:
– El punto de vista que, a menudo, es «impuesto» alestudiante de instituto y de universidad es el de la
integral de Riemann, en la que el área ya no es definida
como un objeto geométrico, sino como el resultado de un
cálculo según un procedimiento dado. ¿Por qué no pensamos
en la dificultad que puede suponer para el estudiante
el relacionar el área con el proceso de sumación
que permite sumar infinitas cantidades «infinitamente
pequeñas»? Y,aunque sea una forma de razonar muy
sugestiva y útil, frecuentemente, desde el punto de vista
lógico, adolece del defecto de no poder atribuir un
significado exacto al concepto de cantidad infinitamente
pequeña (Schneider-Gilot, 1988). ¿Por qué no pensamos
también en la dificultad de las tres magnitudes que hay
presentes cuando definimos la integral de Riemann: los
rectángulos, lossegmentos a los que se reducen y el área
curvilínea que se pretende determinar?
– Por otra parte, «parece que referirse a la integral como
límite de una suma no responde a la lógica de los
infinitésimos» (Cordero, 1987).
– Orton (1983a), en su estudio de la comprensión que
tiene el estudiante de la integración, concluye que los
cuatro ítems que trataban sobre la comprensión de la
integración...