Origens

Matemáticas V
Cuadernillo de Ejercicios

Ing. Joel

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Definición de una ecuación diferencial

Según Zill: Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial. Según Granville: Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales.A menudo las palabras ecuaciones diferenciales nos hacen pensar en la solución de cierto tipo de ecuación que contiene derivadas; pero implica mucho más que eso. Así como al estudiar álgebra y trigonometría se invierte bastante tiempo en resolver ecuaciones, como x2 + 5 x + 4 = 0 con la incógnita “x”, en este curso una de nuestras tareas será resolver ecuaciones diferenciales como y ''+ 2 y '+y = 0 ; cuya incógnita es la función y = f ( x) . En el curso se verá que hay más en el estudio de las ecuaciones diferenciales, que solo el manejo de los métodos que alguien ha inventado para resolverlas.

ACTIVIDAD 1: Investigar el origen de las ecuaciones diferenciales.

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MODELOS MATEMATICOS

Las ecuaciones diferenciales cobran vida al desear describir el comportamiento de unsistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dichos fenómenos pueden ser físicos, sociológicos o hasta económicos.

A la descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático; y se forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o podríamostratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva, sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba.

Cuando tratamos de describir un sistema, con frecuencia se plantean hipótesis; dado que las hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa, de cambio de una o más de las variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis es unao más ecuaciones donde intervienen derivadas.

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EJEMPLOS DE MODELOS MATEMATICOS

Dinámica de poblaciones

Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo el economista ingles Thomas Malthus en 1798. En esencia, la idea del modelo maltusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en formaproporcional a la población total, P(t ) , de ese país en cualquier momento “t”. En otras palabras, mientras más personas haya en el momento “t”, mas habrá en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar

dP αP dt

o sea,

dP = kP dt

Desintegración radiactiva

El núcleo de un átomo está formado por combinaciones de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones soninestables; esto es, los átomos se desintegran, o se convierten en átomos de otras sustancias. Se dice que estos núcleos son radiactivos; por ejemplo, con el tiempo, el radio Ra 226, intensamente radiactivo, se transforma en gas radón, Rn 222, también radiactivo. Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva, se supone que la tasa con que los núcleos se desintegran (decaen), esproporcional a la cantidad (con más precisión, al número de núcleos) A(t ) de sustancia que queda al tiempo “t”:

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dA αA dt

o sea,

dA = kA dt

a) Si dos cantidades u y v son proporcionales, se escribe ______. Esto quiere decir que una cantidad es múltiplo constante de la otra: u=kv. Si damos un vistazo atrás, nos daremos cuenta que la ecuación uno es exactamente igual a la ecuación dos. Ladiferencia estriba (radica) en la interpretación de los símbolos. El modelo (1) de crecimiento también puede verse en la ecuación:
dS = rS dt

que describe el crecimiento de un capital “S” invertido continuamente a una tasa anual “r” de enteres compuesto.

En seguida se enuncian algunas ecuaciones que son similares a las anteriores; ecuaciones que sin duda alguna será familiar para el lector....