Orlando

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Página 363 Dos trenes

LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

REFLEXIONA Y RESUELVE

Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente. Estas son las gráficas TIEMPO - VELOCIDAD de ambos movimientos.
VELOCIDAD (en km/h) 120 100 80 60 40 20 TIEMPO (en horas) TALGO MERCANCÍAS

1

2

3

4Como podemos ver en la gráfica, el Talgo, a las dos horas, reduce su velocidad: ¿A qué puede deberse? ¿Por qué no aminora la marcha también el otro tren en ese instante? A las tres horas, ambos trenes modifican su marcha: el Talgo se detiene durante breves minutos, mientras que el tren de mercancías va muy despacio durante media hora.
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Para hacernos una idea clara de estos movimientos,realicemos algunos cálculos: a) El Talgo, durante 2 h, va a 120 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad? 1 b) De 2 a 2 , el Talgo disminuye su velocidad. ¿Cuántos kilómetros recorre a 4 esa velocidad? c) El tren de mercancías aminora la marcha a las 3 h. ¿Qué distancia ha recorrido hasta ese momento? d) ¿Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la media hora en que va a baja velocidad?Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones

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Haciendo los cálculos anteriores, podrás comprobar que: Ambos trenes recorren 240 km a velocidad normal. Reducen la velocidad en el mismo lugar y recorren, así, otros 15 km (puede ser debido a obras en la vía) y, a continuación, recupera cada cual su velocidad normal. (Es decir, el tren de mercancías no frena cuando el Talgo, pero sí dondeel Talgo). Más adelante, el Talgo para en una estación. e) ¿A qué distancia de la estación de salida está esta otra en la que para el Talgo? f ) Observa que en todos los cálculos que has realizado hasta ahora se han obtenido áreas bajo las gráficas, roja o azul. Señala los recintos cuyas áreas has calculado y asigna a cada uno su área correspondiente. a) 120 · 2 = 240 km. b) A 60 km/h durante 1de hora, recorre 60 = 15 km. 4 4 c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 · 3 = 240 km. d) Va a 30 km/h durante 1 hora, luego recorre 30 · 1 = 15 km. 2 2 e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de: 120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas 60 · 1 = 15 km el siguiente cuarto de hora 4 120 · 3 = 90 km los siguientes tres cuartos de hora 4Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada. f) VELOCIDAD
(km/h) 100 80 60 40 20 Área 3 15 TIEMPO (horas) 4 Área 240 Área 90 TALGO 120

1 VELOCIDAD (km/h) 80 60 40 20

2

Área 240

MERCANCÍAS

Área 15 TIEMPO (horas) 1 2 3 4

2

Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones

UNIDAD 13

Consumo de energía eléctrica
La gráfica adjunta nos da la potencia eléctrica quehay en funcionamiento en una vivienda, a cada instante, entre las 7 de la mañana y las 12 de la noche.
POTENCIA (en watios) 1 000

500

100 7 8 10 12 14 16 18 20 22

TIEMPO (en horas) 24

El área bajo la curva es la energía consumida: potencia Ò tiempo = energía Un cuadradito equivale a 0,1 kWh.
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¿Cuántos kWh se han consumido, aproximadamente, en esas 17 horas? Hay 81,25 cuadritos,luego se han consumido: 0,1 · 81,25 = 8,125 kWh

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1. Halla gráficamente las siguientes integrales: a)

∫

6 2

(

x + 1 dx 2

)

b)

∫

4 –4

√16 – x 2 dx
x y=—+1 2

a) Es un trapecio cuyas bases miden 2 y 4 y cuya altura mide 4. Área = 2+4 · 4 = 12 u2 2
2 4

4

b) y = √16 – x 2

ò y 2 = 16 – x 2 ò x 2 + y 2 = 4 2 (Circunferencia)
4 3 2 1 — y = √16 – x2

Elrecinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio 4 u. Área = = 1 1 · π · 42 = · π · r2 = 2 2 16 · π = 8 · π = 25,1 u2 2

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones

3

2. Halla gráficamente las siguientes integrales: a)

∫ ∫

4

( √16 – x 2 + 4)dx
4

b)

–4 4

∫

4

(4 – √16 – x 2 )dx

–4 4

a)

–4...