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FUNCIONES
Notas redactadas por A. Diego y M. I. Platzeck para el curso de “Matemática General” 1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS. El concepto de función que vamos a estudiar está en la base de la matemática, de otras ciencias y aún de la vida corriente. Definición: Dados dos conjuntos A y B, una función f de A en B es una correspondencia que a cada elemento de A, asocia un único elemento bien determinadode B. El elemento y de B que corresponde al elemento x ∈ A, se llama el valor de f en x y se escribe y = f(x). A veces se escribe f:A→B. El conjunto A se denomina el dominio de f y B su rango (también llamado codominio). Por ejemplo: 1) La longitud de una circunferencia es función de su radio r. En efecto, L = 2π r. Esta expresión define una correspondencia que a cada número real r positivoasocia el número 2π r. 2) El área de una cuadrado es función de la longitud de su lado a: A = a2. Aquí también, esta fórmula define una función, la que a cada número real positivo a asocia el número a2. 3) Un ómnibus se mueve a una velocidad constante de 70 km/h. Después de t horas el ómnibus ha recorrido una distancia de x = 70.t Km. Se tiene así una función que a cada número real t asocia el múmero x= 70.t . En los ejemplos anteriores cada función es expresada mediante una fórmula, pero no es siempre ésta la situación. Por ejemplo: 4) La correspondencia que a cada polígono del plano asocia su área define bien una función f:A→B, donde A es el conjunto de todos los polígonos del plano y B = IR. 5) Si el ómnibus del ejemplo 2 no marcha a una velocidad constante, sino que ésta es alterada acapricho del conductor, no podremos expresar por una fórmula la relación entre el tiempo y el espacio recorrido. Sin embargo, después de t horas el ómnibus se encontrará a una distancia de x Km., bien determinada y por lo tanto ha quedado bien definida una función x = f(t). 6) La temperatura T medida en grados centígrados de un punto P de la Tierra (en un instante dado) depende de P. Se tiene así unafunción f que a cada punto P de la Tierra asocia su temperatura T = f(P). Estos dos últimos ejemplos muestran que la idea de función no es privativa de la matemática y que una función no está necesariamente dada por una fórmula. Si el conjunto A es finito, una función f:A→B puede definirse, en principio, enunciando explícitamente cuál es el elemento de B que corresponde a cada uno de los elementosde A. 7) Si A = {a, b, c, d, e}, B = {a, 1, 0, b, 4}, queda definida una función f por la tabla x f(x) a 0 b a c a d b e 1

Podemos tener una idea de la correspondencia mediante el siguiente gráfico: a• b• c• d• e• •a •1 •0 •4 •b En cambio, el gráfico siguiente no corresponde a ninguna función:

a• b• c•

•0 •1 •2

Esto es porque al elemento a∈A no está asociado un elemento biendeterminado de B, como exige la definición. Asimismo, el siguiente gráfico tampoco define una función de A en B:
a• b• c• •2 •0 •1

A

B

En este caso no se trata de una función de A en B ya que al elemento b no se asocia ningún elemento de B. En la vida corriente hay múltiples ejemplos de utilización de la noción de función: los precios de las mercancías de un almacén, la edad de las personas, sugrupo sanguíneo, etc.

2. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Una clase de funciones, que estudiaremos especialmente, son las definidas mediante expresiones algebraicas. Consideremos, por ejemplo, las siguientes expresiones algebraicas de la variable x: a) x2 − 2x b)

1 +7 x

( x − 1) ⋅ ( x + 2) d) 3 x +1 Estas expresiones nos permiten definir funciones. Para ello asociamos acada número real a el número que resulta de sustituir x por a en la expresión algebraica correspondiente. Por ejemplo, 1 29 consideremos la expresión b). Al número 4 hacemos corresponder + 7 = , al número 1 el número 4 4 1 1 + 7 = 8 , al número −1 el número + 7 = 6 , etc. Pero ¿qué número debemos asociar al número 0? 1 −1 1 + 7 , que no tiene sentido. Así, al número 0 no se Si sustituyéramos x...