Oscilacion

1 Oscilaciones libres

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1 Oscilaciones libres
1.1 Introducción
Muchos fenómenos habituales son periódicos, los latidos del corazón de las personas, el movimiento del péndulo de un reloj de pared o las vibraciones de una cuerda de guitarra, por ejemplo. A escala microscópica, los iones de un cristal de NaCl oscilan alrededor de su posición de equilibrio, o también los átomos en unamolécula. En los circuitos eléctricos de una instalación doméstica, la tensión y la corriente varían periódicamente con el tiempo. Tal variedad de fenómenos hace que el estudio de este tipo de movimiento sea importante.

1.2 Movimiento armónico simple
La forma más simple de un movimiento periódico viene dada por un sistema físico constituido por una masa sujeta al extremo de un muelle. Supondremos quela masa del muelle es despreciable y que todo el sistema está montado sobre una superficie horizontal sin rozamiento, de tal manera que la masa m puede deslizar libremente sobre ella. El muelle, cuando se deja libre, tiene una longitud natural para la que no ejerce ninguna fuerza sobre m, es la llamada posición de equilibrio. Si movemos la masa estirando o comprimiendo el muelle, éste ejerce unafuerza sobre m que tiende a devolver, a restaurar, la posición de equilibrio. Si el muelle es elástico, es decir obedece la ley de Hooke, la fuerza restauradora será lineal y puede escribirse F = - kx i donde la coordenada x corresponde a la deformación del muelle y debe , por lo tanto, medirse desde la posición de equilibrio. La constante de proporcionalidad k se denomina constante elástica delmuelle. El signo menos aparece porque el vector fuerza es opuesto en dirección al vector desplazamiento r =xi En la figura 1.1 se muestra la posición de equilibrio (a), una posición con el muelle comprimido (b) y una tercera con el muelle estirado (c); a la derecha se han representado los diagramas de las fuerzas exteriores que actúan sobre m en las tres situaciones. Como la superficie horizontalimpide el movimiento vertical , no hay aceleración vertical y por lo tanto mg + N = 0. Como el movimiento ocurrirá segun la dirección x, no es preciso mantener la notación vectorial. La fuerza F = - kx actuando sobre m hará que tenga una aceleración que, según la segunda ley de Newton, cumplirá - kx = ma = m que reordenamos como d 2x k + x = 0 m dt 2 (1.1b) d 2x dt 2 (1.1.a)

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Oscilaciones y ondas

m g (a) x= 0 F x (b) N m g m g N

(c) x
Fig. 1.1

F N

La ecuación 1.1.b constituye un ejemplo de lo que se denomina ecuación diferencial, ya que envuelve derivadas. Las soluciones de esta ecuación son funciones x(t) que satisfacen dicha ecuación. Lasfunciónes del tiempo, x(t), deben ser tales que derivando dos veces debe dar por resultado la misma función multiplicada por - k/m, como se pone de manifiesto en la ecuación 1.1.a. Una función seno o coseno del tiempo satisfará esa condición. Probemos la función x(t) = a senωt donde a y ω son constantes desconocidas, de momento; su derivada segunda es d 2x d2 = (a sen ωt ) = - ω 2 a senωt dt 2 dt 2 asípues, x(t) = a senωt es solución de la ecuación 1.1.a, siempre que ω2 = k m (1.3) (1.2)

Obviamente una función coseno sería también solución. La ecuación diferencial que estamos tratando es una ecuación diferencial lineal, es decir x y sus derivadas temporales sólo figuran con exponente uno, con coeficientes costantes; es además homogénea, lo que significa que el segundo miembro es nulo. En...