Oscilaciones Acopladas

Oscilaciones Acopladas
Una situación frecuente en Física es aquella donde se presentan dos osciladores acoplados. En la figura siguiente se ilustran tres casos posibles. La primera se tienen dos masas m1 y m2 unidas a dos resortes k1 y k2 y acopladas por el resorte k, de modo que el movimiento de las dos masas m1 y m2 no son independientes. Luego tenemos dos péndulos acoplados a la cuerda AB.Por último, los cuerpos I1 e I2 están acoplados por la barra k, formando dos péndulos de torsión acoplados.
Figura 1.59: Oscilaciones acopladas.
Para discutir el problema dinámicamente, debemos establecer la ecuación de movimiento de cada oscilador.
La teoría general del movimiento oscilatorio de un sistema de partículas con un número finito de grados de libertad (número mínimo de númerosreales que es necesario especificar para determinar completamente el estado físico del sistema) fue formulada por Lagrange entre los años 1762 y 1765, aunque el precursor fue Daniel Bernoulli (1700-1782) con un trabajo publicado en 1763. Cuando se conectan dos o más osciladores de tal forma que la energía pueda pasar de uno a otro (o de los unos a los otros) en uno y otro sentido, nos encontramos antela situación más complicada que corresponde al caso de oscilaciones acopladas. Un movimiento de esta clase puede ser sumamente complejo (incluso puede no ser periódico), pero como veremos, siempre es posible describir el movimiento de un sistema oscilante en función de las coordenadas normales, que tienen la propiedad de que cada una de ellas oscila con una frecuencia bien definida. Es decir,las coordenadas normales se construyen de manera tal que no existe acoplamiento entre ellos, aún cuando haya acoplamiento entre las coordenadas ordinarias o generalizadas que definen las posiciones de las partículas. Las condiciones iniciales del sistema pueden establecerse siempre de forma que en el movimiento subsiguiente sólo una de las coordenadas normales varié con el tiempo; en estascircunstancias diremos que se ha excitado uno de los modos normales del sistema.
El movimiento vibratorio de un sistema de n grados de libertad se representa por n ecuaciones diferenciales de movimiento, las cuales se pueden obtener por la ley del movimiento de Newton, por la ley de la conservación de la energía, por las ecuaciones de Lagrange, etc. Las ecuaciones diferenciales de movimiento de unsistema de nmasas puede expresarse en general así:

En notación matricial, estas ecuaciones diferenciales se escriben así:

O sencillamente:
 (1.68)
Donde M se llama matriz de inercia, y A se denomina matriz de rigidez.

La ecuación matricial anterior puede expresarse también en la forma:

O bien:
 (1.69)
Donde K = M -1.A se llama matriz dinámica.
El acoplamiento entre las ecuaciones demovimiento se debe a que la matriz de rigidez A o la matriz dinámica K no son diagonales por lo general; de esta manera,si logramos diagonalizar esta matriz, las ecuaciones de movimiento se desacoplan. Esto se logra a través de un procedimiento llamado transformación de semejanza o de similitud, el cual implica encontrar una matriz T y su inversa T -1 tal que la matriz T -1.K.T sea diagonal.Sean I = T.T -1 la matriz identidad y hagamos la transformación de coordenadas normales T -1.Q = Φ, entonces:

Siendo:

Se concluye:
 (1.70)
Para que en efecto, esta ecuación esté desacoplada, construimos la matriz T de tal forma que sus columnas sean los vectores propios o eigenvectores de la matriz K; es decir los vectores columna que satisfacen la ecuación de valores propios:
 (1.71)
Loscoeficientes λi se denominan valores propios o eigenvalores de la matriz K.
La ecuación de valores propios puede reescribirse con ayuda de la matriz identidad de la siguiente manera:

Factorizando:
 (1.72)
Este sistema de ecuaciones tiene solución no trivial si:
 (1.73)
La ecuación anterior se denomina ecuación característica de la ecuación de valores propios y nos permite encontrar los...