Oscilaciones Acopladas

Oscilaciones Acopladas
Una experiencia con osciladores consiste en una cuerda que se sujeta por sus extremos situados a la misma altura. Se atan dos péndulos iguales, a dos puntos simétricos de la cuerda, tal como se indica en la figura. Se desplaza uno de los péndulos, por ejemplo el de color rojo, de su posición de equilibrio y se suelta.El péndulo empieza a oscilar pero su amplitud disminuyecon el tiempo, el otro péndulo de color azul que estaba inicialmente en reposo, empieza a oscilar con una amplitud que aumenta. |
Al cabo de un cierto tiempo, el péndulo rojo se para momentáneamente, y el péndulo azul oscila con la máxima amplitud. Luego, se cambian los papeles, el péndulo azul disminuye su amplitud con el tiempo, y el péndulo rojo va aumentando su amplitud.
Se analiza lasituación desde el punto de vista energético, cómo la energía fluye de un péndulo al otro a través del acoplamiento. Si el acoplamiento es débil, como es éste el caso, la suma total de las energías de los dos péndulos debe ser constante.
 


Para estudiar un sistema formado por dos osciladores acoplados, vamos a tomar como modelo el sistema formado pordos partículas iguales de masa m situadas en los extremos de dos muelles de idéntica constante elástica k. El acoplamiento se efectúa uniendo las dos partículas mediante un muelle de constante kc, tal como se puede ver en la figura.


Llamemos x1 y x2 a los desplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos cuandoestán a la derecha. El muelle de la izquierda se ha estirado x1, el de la derecha se ha comprimido x2 y el central se ha deformado x2-x1. Las fuerzas sobre cada una de las partículas se indican en la figura.
* Sobre la partícula de la izquierda, se ejerce una fuerza hacia la izquierda –kx1, y una fuerza hacia la derecha debido a la deformación del muelle central kc(x2-x1), suponemos que x2 esmayor que x1.
* Sobre la partícula derecha, se ejerce una fuerza hacia la izquierda –kx2 y otra fuerza hacia la izquierda debido a la deformación del muelle central –kc(x2-x1).
El muelle central ejerce fuerzas iguales y de sentido contrario sobre cada una de las partículas.
Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas, y escribimos las ecuaciones del movimiento en forma deecuaciones diferenciales de segundo orden

Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos, la ecuación diferencial de un  MAS(Movimiento Armónico Simple).

Dos movimientos armónicos simples de frecuencias

Las soluciones de estas dos ecuaciones, son respectivamente
ya=x1+x2=y0a sen(wat+ja)
yb=x1-x2=y0b sen(wbt+jb)

Donde las amplitudes y0a y y0b y las fasesiniciales ja y jb están determinadas por las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de cada una de las partículas.
Despejando x1 y x2 de las dos ecuaciones anteriores tenemos

El movimiento general de dos osciladores acoplados puede considerarse como la superposición de dos modos normales de oscilación de frecuencias angulares wa y wb.

Modos normales de vibración
El primer modo normal devibración de frecuencia wa se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en fase x01 es igual a x02. El muelle central no sufre ninguna deformación y por tanto, no ejerce ninguna fuerza sobre las partículas, las cuales se mueven como si no estuvieran acopladas.

El segundo modo normal de frecuencia wb se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en oposición de fase x01 =- x02. Las ecuacionesdel movimiento de cada oscilador se reducen a las siguientes.

Estudio energético
Calculemos la energía total del sistema, la suma de las energías cinética y potencial. Tenemos la energía cinética de cada una de las partículas, la energía potencial elástica del muelle izquierdo que se deforma x1, del muelle derecho que se deforma x2, y del muelle central que se deforma x2-x1.

Una vez...