Oscilaciones libres de la Tierra

17

513430 - Sismolog´
ıa

2.5 Oscilaciones libres de la Tierra
Para cortos longitudes de onda, que son peque˜as en comparaci´n con el tama˜o
n
o
n
de la Tierra, podemos considerar ondas s´ısmicas en t´rminos de la propagaci´n
e
o
de una onda en un medio sin l´
ımites. Para ondas con largos per´
ıodos debemos
tomar en cuenta el tama˜o finito de la Tierra y, en el lugar de lateor´ de rayos,
n
ıa
usamos modos normales.
Usando una buena aproximaci´n, se considera la Tierra como una esf´ra
o
e
homog´nea, isotr´pica, el´stica y sin rotaci´n. Este problema se soluciona en
eo
a
o
coordenadas esf´ricas con los desplazamientos escritos en t´rminos de un potene
e
cial escalar Φ y un vectorial Ψ. El potencial vectorial se expresa en t´rminos de
e
dos potenciales queson los productos del vector unitario en la direcci´n radial y
o
tangencial.
u=

Φ+

×Ψ=

Φ+

× Sr +

×

× Tr

(2.26)

Esto separa el desplazamiento en el movimiento de ondas-P(Φ), el movimiento
de ondas-SV (S) y el movimiento de ondas-SH (T ). Para la esfera de la Tierra,
la ecuaci´n de movimiento de Navier es
o
α2 ( u) − β 2

×

×u=u
¨

(2.27)

La soluci´n de(2.27) est´ expresada en coordenadas esf´ricas con el desplazao
a
e
miento u dado en t´rminos de potenciales de forma
e
l

∞

Ylm (θ, φ)

jl (kα r)

Φ(r, θ, φ) =
l=0

(2.28)

m=−l

oe
donde Ylm (θ, φ) = Plm (cos θ)e±imφ son las funciones arm´nicas esf´ricas asociadas de ´
ındice angular l e ´
ındice azimutal m y jl (kα r) son funciones esf´ricas de
e
Bessel. Las solucionespara las otras componentes de movimiento tienen formas
similares. Para cada valor de l existen 2l + 1 valores de m. La soluci´n general
o
es una suma sobre todos los modos, pero la soluci´n puedeestar separada en
o
modos esferoidales Slm que involucran los potenciales P y SV (Φ y S r), y en los
modos toroidales Tlm que involucran el potencial SH (T r.
Para los modos toroidales, la...